Критерий расстояния до идеальной точки

В этом случае обобщенный показатель U=U(W_n)=U(w₁,w₂...w_n)вычисляются как расстояние (длина вектора) в критериальном пространстве между точкой с текущими координатамиW_n=U(w₁,w₂...w_n)и точкой (идеальной), координаты которой задаются ЛПР (экспертом) W_n^ид =U(w₁^ид,w₂^ид...w_n^ид).Как правило, такое решение (идеальное), в общем случае может не существовать, т.е. не реализуемо.

Для определения расстояния нужно в критериальном пространстве задать метрику, т.е. способ измерения расстояния между точками. Метрику можно задавать произвольно, но обычно, во имя простоты, используют евклидово пространство:

.

Следует иметь в виду, что выбор метрики может существенно сказаться на результате решения задачи и, поэтому, данный этап достаточно принципиален.

Для того, чтобы расстояния можно было измерять в одной шкале, значения показателей W_n (w₁,w₂...w_n)и W_n^ид (w₁^ид,w₂^ид...w_n^ид)можнонормировать как во «взвешенной сумме».

В этом случае скаляризации векторного критерия взвешенное значение критерия (метод «взвешенной суммы») заменяется его «расстоянием до идеальной точки» (W^ид). При расчете расстояния можно также вводить весовые коэффициенты a_i. Однако содержательный смысл обобщенного показателя в этом случае будет уже другой.

Полезность

Полезность является индивидуальной оценкой качества альтернатив. определяемой ЛПР. Она отображает его систему ценностей в критериальном пространстве на полном множестве альтернатив (можно на реализуемом). Полезность принято задавать в числовой шкале в евклидовом пространстве: Обычно в (0-1) или в (0-100). Это дает возможность количественно оценить - во сколько (или на сколько) одно решение полезнее другого с точки зрения ЛПР.

Полезность часто задаётся ЛПР (или экспертом) в виде функции полезности – некоторой функции вида U=F (W_n)= F (w₁,w₂...w_n),отражающей «полезность» получаемых решений с его точки зрения (формализованная свертка). Вид функции полезности обычно выбирается из заданного класса функций.

Значения «полезностей» могут назначаться ЛПР (экспертом) непосредственно в выбранных точках критериального пространства (не формализованная свертка).

При сопоставлении различных значений функции полезности на них распространяются обычные правила математики, действующие в евклидовом (метрическом) пространстве. Таким образом, назначение полезностей альтернатив можно рассматривать как еще один способ скаляризации векторного критерия.

Вопросы организации процедур назначения полезностей, их свойства и операции над ними рассматриваются в специальном разделе исследования операций - «теории полезности».

Предпочтения

Предпочтения также являются индивидуальной оценкой качества альтернатив, определяемой ЛПР. Они отображают его систему ценностей (предпочтений) на полном (возможно на ограниченном) множестве альтернатив.

Для задания предпочтений (в отличие от полезности) используется качественная (лексическая) шкала, на которой значения задаются в виде некоторых высказываний (термов), упорядоченных по предпочтению в порядке возрастания (убывания).

При задании предпочтений используются отношения строгого (или нестрогого) порядка. Т.е. любые два значения шкалы предпочтений, следующих в порядке улучшения (возрастания) связаны отношением «лучше» (или «не хуже»). Подобное задание предпочтений не требует установления между двумя значениями соотношения «на сколько» или «во сколько», а только их упорядочивания. В качестве примера можно использовать шкалу следующего вида:

Как видим, в данном случае значения шкалы предпочтений связаны отношениями строгого порядка. Для удобства манипулирования им можно поставить в соответствие номера (1, 2, 3, 4, 5), однако на них, в данном случае на них не будут распространяться правила математики, действующие в евклидовом (метрическом) пространстве. Для улучшения возможностей по сопоставлению альтернатив, имеющих широкий диапазон изменения значений компонент векторного критерия, количество показателей шкалы предпочтений можно увеличить.

Кроме того, при задании предпочтений вместо лексических шкал можно использовать цветовые, задавая для разных значений показателей разные, по насыщенности света, элементы.

Многомерная скалярная функция, задающая значения предпочтений в критериальном пространстве, называется функцией предпочтений (ФП) и на ее основе возможно проведение оптимизации и ранжирования рассматриваемых альтернатив. Процедуру задания и определения ФП можно также рассматривать как способ скаляризации векторного критерия. Более подробно формализация предпочтений в форме ФП приведена в описании системы поддержки решений DSS/UTES, разработанной на кафедре 302.

Основные проблемы свертки векторного критерия в скаляр связаны с тем, что отдельные компоненты векторного критерия могут носить как количественный, так и качественный характер. Поэтому переход от векторного критерия к скалярному показателю в евклидовом пространстве в большинстве случаев невозможен. От этого недостатка свободен метод свертки по предпочтениям, т.к. он требует только сопоставления различных значений компонент векторного критерия по предпочтительности, но не «на сколько» («во сколько»).

Следует заметить, что часто в результате свертки теряется содержательный смысл полученного обобщенного критерия и найденные на его основе оптимальные решения нужно анализировать по достигнутому значению векторного критерия.

Кроме этого, поскольку выбор оптимального (рационального) решения есть прерогатива ЛПР и носит субъективный характер, поэтому выбор метода свертки и его параметров необходимо проводить, также, им непосредственно (или под его контролем).