Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые

Замечание: функции при бесконечно малые величины, но к нулю они стремятся по-разному.

Чтобы сравнить бесконечно малые функции рассматривают предел их отношения. Пусть функции и являются бесконечно малыми при . Рассмотрим предел отношения этих функций при и введем следующие определения.

Функции и называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости при ; если есть конечное число, отличное от нуля.

Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция при , если .

Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция при , если .

Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если не существует.

Пример 13.

Функция является бесконечно малой при более высокого порядка малости, чем функция , так как .

При приближении к нулю функция стремится к нулю быстрее, чем функция .

Пример 14.

Функция и являются бесконечно малыми одного порядка малости при , так как .

Введем теперь понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

Две функции и бесконечно малые при ( ) называются эквивалентными (или равносильными), если предел их отношения при ( ) равен единице.

Например, функции являются эквивалентными бесконечно малыми функциями при , так как , .

Если и – эквивалентные бесконечно малые функции, то это записывают так: ~ или ~ .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Таблица 3

при	при
при	при
при	при
при	при   при
при
при

Пример 15. Найти .

Решение. Так как при ~ , ~ то .

Пример 16.Найти .

Решение.

Пример 17.Найти .

Решение.

.

Пример 18.Найти .

Решение. Так как , а , то

.

Пример 19.Найти .

Решение. Так как , то

.