Первый замечательный предел

Первый замечательный предел: .

Доказательство.Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. Пусть . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем .

Рис. 4

На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на , получим . Так как - то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А так как , то

Пример 8. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприменима. Для отыскания предела преобразуем данную дробь:

.

Пример 9. Найти .

Решение. .

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

Докажем, что к числуестремится и функция x_n = при .

1. Пусть . Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: - это целая часть х. Отсюда следует , поэтому .

Если , то .

Поэтому имеем: ;

.

По признаку существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку –х=t, тогда

.

Пример 10. Найти .

Решение.

1 способ.

.

2 способ. .

Замечание: для вычисления второго замечательного предела удобно пользоваться формулой .

Пример 11. Найти .

Решение. .

Пример 12. Найти .

Решение.

=

= .