Первый замечательный предел

Первый замечательный предел: .

Доказательство.Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. Пусть . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем .

 

Рис. 4

На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на , получим . Так как - то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А так как , то

Пример 8. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприменима. Для отыскания предела преобразуем данную дробь:

.

Пример 9. Найти .

Решение. .

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

Докажем, что к числуестремится и функция xn = при .

1. Пусть . Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: - это целая часть х. Отсюда следует , поэтому .

Если , то .

Поэтому имеем: ;

.

По признаку существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку –х=t, тогда

.

Пример 10. Найти .

Решение.

1 способ.

.

2 способ. .

Замечание: для вычисления второго замечательного предела удобно пользоваться формулой .

Пример 11. Найти .

Решение. .

Пример 12. Найти .

Решение.

=

= .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Теоремы о пределах. Приемы вычисления пределов | Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 73; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.