Основные характеристики функции

Функция у = f(x), определённая на множестве D, называется чётной, если для выполняется условие ; нечётной, если для выполняется условие (график чётной функции симметричен относительно оси Оу, график нечётной относительно начала координат).

Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть D₁ D.
Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство:

· , то функция называется возрастающей на множестве D₁;

· , то функция называется неубывающей на множестве D₁;

· , то функция называется убывающей множестве D₁;

· , то функция называется невозрастающей на множестве D₁.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D₁ называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Функцию у = f(x), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > О, что
для всех х D выполняется неравенство .

Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется перио­дической на этом множестве, если су­ществует такое число Т > 0, что при каждом х D значение (х + Т) D и f(x + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции.

Замечание: обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x + Т) = f(x).

Обратная функция

Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у Е соответствует единственное значение х D, то определена функ­ция х = φ (у) с областью определения Е и мно­жеством D. Такая функ­ция φ (у) называется обратной к функции f(x) .Про функции у = f(x) и х =φ (у) говорят, что они являются взаимно об­ратными.

Замечание:

1) любая строго монотонная функция имеет обратную;

2) графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов.

Сложная функция

Пусть задана функция u = y (x), отображающая множество X в множество U, и пусть задана функция y= f(u) отображающая множество U в множество Y. Тогда последовательное отображение ставит в соответствии каждому элементу элемент такой, что .