Тема 1.1. Основы моделирования. Виды моделей.

http://matmetod-popova.narod.ru/theme22.htm

Оглавление | Назад| Далее | Глоссарий понятий

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Мы под "моделью" будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель — результат отображения одной структуры на другую. Отобразив физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическуюмодель системы, или математическую модель физической системы.

Пример 1.1.1

Рассматривая физическую систему: тело массой m, скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F, Ньютон получил соотношение F = mа. Это физико-математическая модель системы, или математическая модель физической системы. При

описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы:

1. поверхность идеальна (т. е. коэффициент трения равен нулю);

2. тело находится в вакууме (т. е. сопротивление воздуха равно нулю);

3. масса тела неизменна;

4. тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.

Пример 1.1.2

Физиологическая система — система кровообращения человека — подчиняется некоторым законам термодинамики. Описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Информация — это абстракция.
Модель — это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.
Моделирование — тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

· Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

· Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.

· Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

· Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;

· Теоретическая — на основе математических описаний;

· Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

1. построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

2. исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

3. использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование

— это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.
В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

Моделирование

- процесс построения, изучения и применения моделей.

Т.е. можно сказать, что

моделировaние

- это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Пример 1.1.3

Закон Ньютона F = am — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой . Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример 1.1.4

Модель S = gt^z/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s"(t)m(t).

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример 1.1.5

Если рассматривать только t - 0, 1, 2, ..., 10 (с), то модель S₁ = gt²/2, или числовая последовательность S₀ = 0, S = g/2, S₂ = 2g, S₃ = 9g/2, ..., S₁₀= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Пример 1.1.6

Модель S = gt²/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0; 100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример 1.1.7

Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве х₁ и х₂ единиц соответственно, со стоимостью единиц товара a₁ и а₂ описана в виде соотношения: а₁х₁ + а₂х₂ = S, где S — общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (видов 1 и 2). Можно эту модель использовать в качестве имитационной модели, по которой определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример 1.1.8

Приведенные выше физические модели — детерминированные. Если в модели S(p) = g(p)t²/2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр — порыв ветра с силой р при падении тела, например, так: S = gt²/2, 0 < t < 100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример 1.1.9

Пусть заданы множество X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай — супруг Елены, Екатерина — супруга Петра, Татьяна — дочь Николая и Елены, Михаил — сын Петра и Екатерины, семьи Николая и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Пример 1.1.10

Совокупность двух логических функций вида: z = ^y v ^y, p = x^y может служить математической моделью одноразрядного сумматора.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию Между участниками игры (лицами, коалициями).

Пример 1.1.11

Пусть игрок 1 — добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 — недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j, которые можно отождествить, соответственно, со штрафом, назначаемым игроку 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1, и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов (в средне- и долгосрочном плане штраф за сокрытие может оказаться намного более ощутимым). Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей А порядка n. Каждый элемент этой матрицы определяется по правилу a_ij=/ i — j /. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра — антагонистическая, бескоалиционная (эти формализуемые в математической теории игр понятия мы пока будем понимать интуитивно).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого на первый взгляд непривычного типа моделей кажется нам вполне обоснованным, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример 1.1.12

Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда с некоторой заданной степенью точности. Алгоритмической моделью квадратного корня из числа х может служить алгоритм вычисления его приближенного сколь угодно точного значения по известной рекуррентной формуле.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Пример 1.1.13

1. Правила дорожного движения — языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

2. Пусть В — множество производящих основ существительных, S — множество суффиксов, Р — множество прилагательных, + — операция конкатенации слов, := — операция присваивания, => — операция вывода, Z — множество значений (смысловых) прилагательных. Языковая модель М словообразования: <z_i> <= <р_i> := <b_i>+ <S_i>. При b_i = pыб, S_i = н получаем по этой модели: р_i - рыбный, z_i - приготовленный из рыбы.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Пример 1.1.14

На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Пример 1.1.15

Глобус — натурная географическая модель земного шара.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Пример 1.1.16

1. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

2. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно эта модель используется при изображении окружности на экране компьютера.

3. Прямая линия является моделью числовой оси.

4. Параллелограммом часто изображается плоскость.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Пример 1.1.17

Математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т. д. являются одинаковыми с точки зрения самого описания, хотя процессы различны.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей — имитационном, стохастическом и т. д.
Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных — системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель — это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель — это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

· конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

· упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

· приблизительность — действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;

· адекватность моделируемой системе — модель должна успешно описывать моделируемую систему;

· наглядность, обозримость основных свойств и отношений;

· доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

· информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

· сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

· полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

· устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;

· замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

Модель должна строиться так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели.

Построенные модели необходимо исследовать и решить. Но прежде введем некоторые понятия.

Операция

- всякое мероприятие (система действий), объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т.е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Всякий определенный набор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Иногда в результате исследования можно указать одно единственное строго оптимальное решение, но гораздо чаще выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан выбор.

Параметры, совокупность которых образует решение, называется элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, различные признаки и т.д.

Задача № 1. План снабжения предприятий

Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями путями сообщения (железнодорожными, водными, автомобильными, воздушными) со своими тарифами.
Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

В данной задаче, если составляется план перевозок однородных грузов из пунктов отправления А₁, А₂ , ..., А_m в пункты назначения B₁, B₂, ..., B_n, то элементами решения будут числа, показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-ого пункта отправления А_i в j-ий пункт назначения B_j. Совокупность чиселx₁₁, x₁₂, ..., x_1n, ..., x_m1, x_m2, ..., x_mnобразует решение.

Задача № 2. Строительство зрительного зала

В здании, имеющем форму полуэллипсоида нужно разместить зал в форме прямоугольного параллепипеда, соответствующие грани которого перпендикулярны осям ээлипсоида.
Требуются определить размеры зала, чтобы его вместимость (объем) был максимальный.