Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Для твердого тела, совершающего плоское движение и, следовательно, имеющего три степени свободы, соответственно получим следующие три дифференциальных уравнения:

, , . (179)

С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи: по заданному плоскому движению твердого тела находить действующие на тело внешние силы и по заданным внешним силам и начальным условиям определять его движение. При решении этих задач должны быть заданы масса тела и его момент инерции.

ЛЕКЦИЯ № 8

Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы

Работа силы на каком-либо перемещении является одной из основных характеристик, оценивающих действие силы на этом перемещении.

Элементарная работа силы. Элементарная работа силы на элементарном (бесконечно малом) перемещении определяется следующим образом (рис. 54):

, (180)

где – проекция силы на направление скорости точки приложения силы или на направление элементарного перемещения, которое считается направленным по скорости точки.

Элементарную работу можно представить, в виде:

, (181)

элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения ни проекцию силы на это перемещение. Отметим частые случаи, которые можно получить из (180):

, ;

, ;

, .

Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей к скорости силы всегда равна нулю.

Приведем другие формулы для вычисления элементарной работы силы:

, (182)

элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.

, (183)

элементарная работа равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Аналитическое выражение элементарной работы:

. (184)

Полная работа силы. Полная работа силы на перемещении от точки до точки равна:

, (185)

Используя другие выражения для элементарной работы, полную работу силы можно представить также в виде

, (186)

или

, (187)

где момент времени соответствует точке , а момент времени – точке .

Из определения элементарной и полной работы следует:

1) работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении;

2) работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.

Мощность. Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени:

.

Учитывая определение для элементарной работы, мощность можно представить в виде

.

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки.