Взаимное пересечение поверхностей

Две кривые поверхности в общем случае пересекаются по пространственной кривой линии. Для построения этой линии в зависимости от того, как заданы поверхности применяют метод вспомогательных секущих плоскостей или метод секущих сфер.

При использовании метода секущих плоскостей вводится ряд вспомогательных плоскостей, пересекающих каждую поверхность по линии, простой по построению (окружность или прямая). На пересечении линий пересечения определяются общие для поверхностей точки. Иногда целесообразно использовать вспомогательные секущие сферы, т.к. сфера, центр которой располагается на оси поверхности вращения пересекает его по окружности (рис. 6.10).

Чтобы использовать метод сфер, должны выполняться следующие условия:

1). Оси поверхностей вращения должны пересекаться. Центр секущих сфер выбирается в точке пересечения осей.

2). Оси пересекающихся поверхностей вращения должны быть параллельны какой либо плоскости проекции.

Рис. 6.10.

Задача: Определить линию пересечения вертикального конуса и горизонтального цилиндра (рис. 6.11).

Решение: Для решения задачи удобно использовать способ вспомогательных секущих плоскостей. Если рассекать обе поверхности горизонтальными плоскостями уровня, то линии сечения будут простыми для построения линиями: для конуса – окружности, для цилиндра – образующие.

Рис. 6.11. Способ секущих плоскостей.

Первоначально определим опорные точки. Это точки 1 и 2. Они определяются на пересечении очерковых образующих конуса и фронтальной проекции цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра является фронтально проецирующей.

Для нахождения промежуточных точек вводят ряд вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня S¹-S⁵. Точки 3 и 4, определённые введением плоскости S², проходящей через ось цилиндра, являются точками границы видимости на горизонтальной проекции сечения. Полученные точки плавно соединяются с учётом видимости.

Задача: Определить линию пересечения вертикального и горизонтального конусов (рис. 6.12).

Решение: В данном случае целесообразно использовать метод секущих сфер, т.к. оси конусов пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. Первоначально определяем опорные (характерные) точки на пресечении очерковых образующих – точки 1 и 2. Для определения точек перехода через границу видимости вводим горизонтальную плоскость уровня S. Она пересекает вертикальный конус по окружности а горизонтальный по очерковым образующим. На их пересечении определяем точки 3 и 4.

Для нахождения промежуточных точек используем секущие сферы. Минимальная сфера радиуса R_min вписывается в больший конус. Оба конуса пересекаются сферой по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде прямых линий. На пересечении этих линий определяем точки 5 и 6. Далее вводим сферу большего радиуса, определяем точки 7 и 8. Полученные точки переносим на горизонтальную проекцию и плавно соединяем с учётом видимости.

Рис. 6.12.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какая поверхность называется многогранником?

2. Перечислите правильные многогранники?

3. Что такое развёртка многогранника, и какие существуют способы её построения?

4. Что называется переносом поверхности?

5. Как определить проекции точки принадлежащие поверхности вращения?

6. При каком расположении секущей плоскости в сечении конуса получаются окружность, парабола, эллипс. гипербола?

7. В чём сущность способов секущих плоскостей и секущих сфер при определении линии пересечении линии пересечения поверхностей вращения?

8. Определите линию пересечения двух конусов с вертикальными осями вращения (конусы задайте самостоятельно).