Взаимное расположение прямых в пространстве

Если в пространстве даны две прямые, то они могут 1) быть параллельны, 2) пересекаться, 3) скрещиваться.

Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное расположение.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:

: , : .

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы

и

коллинеарные. Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то условие параллельности прямых будет иметь вид:

. (7)

Теперь рассмотрим две пересекающиеся прямые. Такие прямые можно поместить в одну плоскость. Но это значит, что векторы , и будут компланарны. Следовательно,

, (8)

или, в координатной форме,

. (9)

Таким образом, если прямые и не параллельны и для них выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они пересекаются.

Так как скрещивающиеся прямые нельзя поместить в одну плоскость, то для скрещивающихся прямых условие (8) не выполняется. Следовательно, если прямые и не параллельны и для них не выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они скрещиваются.

НАПРИМЕР. Прямые

: и :

будут параллельны, так как их направляющие векторы и удовлетворяют условию (7):

.

Прямые

: и :

не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):

Следовательно, прямые и – пересекаются.

И, наконец, рассмотрим прямые

: и : .

Они не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них не выполняется условие (9):

Следовательно, прямые и – скрещиваются.