Система уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла, наиболее полно и точно (насколько это известно) описывает все проявления электромагнитного поля.

, , , .

Материальные уравне­ния:

, , .

Здесь ― вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).

Уравнения в Максвелла, записанные в дифференциальной форме в выбранной системе координат, справедливы для областей, в которых вектора поля непрерывны и дифференцируемы. На границе раздела сред с различными электрическими и магнитными свойствами, а также в точках поверхностей с распределениями на них поверхностных зарядов или тонких слоев токов, эти векторы терпят разрыв и их производные не существуют. На границе раздела сред дифференциальные уравнения теряют свой смысл. Для нахождения электромагнитного поля нужно добавить соотношениями, связывающими составляющие векторов по обе стороны поверхностей раздела сред. иназываемыми граничными условиями. Взаимосвязи между значе,ниями составляющих векторов в разных средах у поверхности раздела называют граничными условиями. Для получения граничных условий нужно использовать уравнения Максвелла в интегральной форме.

1.3.2.Граничные условия для векторов магнитного поля

Граничное условие для нормальных составляющих вектора индукции магнитного поля при переходе границы раздела с магнитными проницаемостями и выводятся так же, как для нормальных составляющих вектора электрического смещения.

Рассмотрим элементарный цилиндр, охватывающий точку на поверхности раздела сред с и , (рис. 1.11).

Рис.1.11. Векторы индукции магнитногоо поля на границе сред

Принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме , записанный для поверхности цилиндра, после интегрирования и преобразований приводит к уравнению

.

На поверхности раздела равны нормальные составляющие вектора индукции магнитного поля.

Граничное условие для касательных составляющих вектора напряженности магнитного поля.

Для элементарного контура abcd (рис. 1.ё12), охватывающего точку на границе сред с и применим закон полного тока в интегральной форме:

.

Рис.1.12

Пусть размеры сторон контура удовлетворяют условию .

Пренебрегая вкладом в интеграл на боковых сторонах bc и da ввиду их малости и учитывая, что , имеем:

Принимая во внимание, что ab = cd, получаем H₁sinq₁ = H₂sinq₂ или

.

На поверхности раздела равны касательные составляющие вектора напряженности магнитного поля.

Из условий на поверхности раздела для векторов и получаем соотношение, определяющее преломление векторов на границе сред сразличными магнитными свойствами:

или