Структура и показатели эффективности систем массового обслуживания

Система массового обслуживания состоит из следующих элементов (рисунок 5.6).

1 — входящий поток требований ω(t) – совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг (покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным и переменным.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 — очередь – требования, ожидающие обслуживания. Очередь оценивается средней длиной r – числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.

Рисунок 5.6 – Общая схема системы массового обслуживания

3 — обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) – совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 — выходящий поток требований ω’(t) – поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5— замыкание (возможное) СМО – состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1 По ограничениям на длину очереди:

— СМО с потерями – требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

— СМО без потерь – требование занимает очередь, даже если все каналы
заняты;

— СМО с ограничениями по длине очереди m или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (m+1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2 По количеству каналов обслуживания п:

— одноканальные: n=1;

— многоканальные n≥2.

3 По типу обслуживающих каналов:

— однотипные (универсальные);

— разнотипные (специализированные).

4 По порядку обслуживания:

— однофазовые – обслуживание производится на одном аппарате (посту);

— многофазовые – требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5 По приоритетности обслуживания:

— без приоритета – требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

— с приоритетом – требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6 По величине входящего потока требований:

— с неограниченным входящим потоком;

— с ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7 По структуре СМО:

— замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рисунке 5.6));

— открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8 По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

— с взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование «скользящих» рабочих;

— без взаимопомощи – пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.

Интенссивность обслуживания

где t_д — продолжительность (длительность) обслуживания одного требования.

Приведенная плотность потока требований

где ω — параметр потока требований.

Абсолютная пропускная способность показывает количество требований, поступающих в единицу времени, т.е.

где g— относительная пропускная способность.

Относителъная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р₀, характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р_отк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю «потерянных» для системы требований.

Вероятность образования очереди Р_очопределяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование «встает» в очередь с числом ожидающих требований r.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

Количество требований, связанных с системой,

где n_зан — среднее количество занятых постов.

Время связи требования с системой:

— СМО с потерями

— СМО без потерь

Издержки от функционирования системы

где С₁ — стоимость простоя автомобиля в очереди;

r — средняя длина очереди;

С₂ —стоимость простоя обслуживающего канала;

n_сн — количество простаивающих (свободных) каналов;

t_ож — среднее время нахождения в очереди.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И=min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования (п=1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями (т=2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем А=2 треб./ч, продолжительность диагностирования t_д=0,4 ч.

Интенсивность диагностирования μ=1/0,4=2,5.

Приведенная плотность потока ρ=2/2,5=0,8.

Вероятность того, что пост свободен,

P₀=(1-ρ)/(1-ρ^m+2)=(1-0,8)/(1-0,8⁴)=0,339.

Вероятность образования очереди

P_оч=ρ²Р₀=0,8² 0,339=0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

P_отк=ρ^m+1(1-ρ)/(1-ρ^m+2)=0,8³(1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Относительная пропускная способность

g=1-P_отк=1-0,173=0,827.

Абсолютная пропускная способность

А=2 0,827=1,654 треб./ч.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

n_зан=(ρ-ρ^m+2)/(1-ρ^m+2)=(0,8-0,8⁴)/(1-0,8⁴)=0,661=1-P₀.

Среднее количество требовниий, находящихся вочереди,

Среднее время нахождения требования в очереди

t_ож=r/ω=0,564/2=0,282 ч.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п=1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С₁=20 ре (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С₂=15 ре Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что пост свободен

P₀=1-ρ=1-0,8=0,2.

Вероятность образования очереди

P_оч=ρ²Р₀=0,8² 0,2=0,128.

Относительная пропускная способность g=1, так как все намеченные автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А=ω=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n_зан=ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r=ρ²/(1-ρ)=0,8²/(1-0,8)=3,2.

Среднее время ожидания в очереди

t_ож=ρ²/(1-ρ)/μ=0,8²/(1-0,8)/2,5=1,6.

Издержки от функционирования системы

И=С₁r+С₂n_сн+(С₁+C₂)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/смену.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (n=2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С’₁=22 ре. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны,

Р₀=1: =0,294.

Вероятность образования очереди

P_оч=ρⁿР₀ /n!=0,8² 0,294/2=0,094,

т.е. на 37 % ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g=1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n_зан=ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r=ρP_оч/(n-ρ)=0,8² 0,094/(2-0,8)=0,063.

Среднее время нахождения в очереди

t_ож=P_оч/(n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Издержки от функционирования системы

И=С₁r+С₂n_сн+(С₁+C₂)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз. Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу (5.18) из условия И₁=И₂, можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет C₂^пр=39 ре.