Постановка задачи интерполирования

Пусть функция задана на отрезке в точках , i=0,1,2..n, называются узлами интерполяции.

Рис 5.1. Постановка задачи интерполирования

Требуется провести интерполирующую функцию определенного класса, проходящую через точки: , в узлах интерполяции i=1,2..n.

Пусть F(x)- это многочлен степени не выше n. Обозначим F(x) через P_n(x), тогда

В такой постановке задача имеет единственное решение. Полученную формулу y= P_n(x) используют для вычисления приближенного значения функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Эта операция называется интерполирование.

Если , то интерполирование будет в узком смысле, а если то интерполирование в широком смысле (экстраполирование).

Конечные разности

Пусть дана функция и фиксированная величина приращения аргумента . Конечной разностью первого порядка функции y называется выражение. Конечной разностью второго порядка называется: . Kонечной разностью n-го порядка называется . Конечные разности обладают следующими свойствами :

1. ;

2. ;

3. .

Для малых h можно приближенно заменять производные через конечные разности: , ( ).

Часто приходится рассматривать функции у=f(x), заданные табличными значениями yi=f(xi), для системы равноотстоящих точек xi(i=0,1,2,…), где

. Конечные разности последовательности yiопределяются соотношениями

Пример 5.1 Построить конечные разности для функции с шагом .

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной (таблица 5.1) или диагональной (таблица 5.2)

Таблица 5.1.

Горизонтальная таблица разностей

….	…	…	…	…	…

Таблица 5.2.

Диагональная таблица конечных разностей