Оценка погрешности приближений процесса итераций

Пусть и - два последовательных приближения системы (3.2). Тогда для приближения справедлива оценка

:,

если выполнено первое условие теоремы 3.1, или

,

если выполнено второе условие теоремы 3.1. Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности ε.

или

3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:

Сходимость накладывает жесткие условия на коэффициенты данной линейной системы . Однако, если , то с помощью линейного комбинирования уравнений системы, последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой , такой, что условия сходимости будут выполнены. Умножим уравнение (3.1) на матрицу , где - матрица с малыми по модулю, одинаковыми элементами. Тогда будем иметь:

или , где и .

Все элементы матрицы ε выбираем одинаковыми из условия . Это обеспечивает выполнение достаточного условия сходимости метода.

Пример 3.1 Решить систему методом итераций в Mathcad с тремя верными цифрами после запятой

Точность вычислений

Решение исходной системы матричным методом

Линейными преобразованиями добиваемся диагонального преобладания.

Преобразуем к виду, удобному для итераций.

q-это норма матрицы «с»

В качестве начального приближения возьмем столбец свободных членов, сделаем 6 приближений, вектор разностей между соседними приближениями обозначим z. Результаты поместим в матрицу x.

Ответ:

Рис. 3.1.Решение примера 3.1 в Mathcad

Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода итерации. Он заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного при i>1 используют уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных

Пусть дана приведенная линейная система

Выберем произвольно начальные приближения корней ,

Далее, предполагая, что k-е приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k+1)-е приближения корней по следующим формулам:

Процесс повторяется до тех пор, пока разница между двумя соседними приближениями не будет меньше необходимой точности.

Условия сходимости те же, что и для метода итераций.

Пример 3.2. Пусть дана линейная система и приближенные корни системы:

и .

Приведем систему к виду, удобному для итераций

поэтому метод сходится

Взяв в качестве начальных приближений: , получим:

при k=1

при k = 2

Найдем разность по модулю между соседними приближениями:

| - | = 0,00048

| - | = 0,00047

| - | = 0,00016

Так как для приведенной системы выполняется условие сходимости при ,то полученное приближение имеет погрешность, не превышающую 0,0005.

Таким образом, в качестве решения можем принять .

Метод релаксаций

Пусть дана система: (3.1)

Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на , второе – на и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: , где и .

Пусть - начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения . Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы

.

Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки увеличатся на величину _. Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и мы будем иметь и

Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности.

Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.

.

Приведем систему к виду, удобному для релаксации:

.

Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения , находим , , .

Согласно общей теории полагаем: . Отсюда получаем невязки

Далее полагаем

Суммируя все приращения получим значения корней:

Удобно располагать вычисления в таблице:

Ответ: