Вычисление лагранжевых коэффициентов

 

(5.2)

Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности

 

Таблица 5.3.

Таблица разностей

 

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

 

Пример 5.3 Выполнено в Mathcad

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

 

 

 

Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad

 

 

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны ). Действительно, положив в формуле (5.2):

, , ,

после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на an, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(5.4)

где

 

Пример 5.4 Выполно в Mathcad.

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

 

 

Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad

 

Схема Эйткина

 

Пусть требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x. При этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, тогда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:

 

.

 

Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xiзначения , запишется следующим образом:

.

Вычисления по схеме Эйткина удобно расположить в такой таблице:

 

Таблица 5.4.

Вычисления по схеме Эйткина

       
     
   

 

Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочлены и в таблице 5.4 не совпадут в пределах заданной точности.

 

Пример 5.5 Функция задана таблицей

 

1.0 1.000
1.1 1.032
1.3 1.091
1.5 1.145
1.6 1.170

Применяя схему Эйткина, найти Составим таблицу 5.4 для примера:

 

1.0 1.000 -0.15    
1.1 1.032 -0.05 1.048  
1.3 1.091 0.15 1.047 1.048
1.5 1.145 0.35 1.050  
1.6 1.170 0.45 1.057  

 

Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048








Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 896;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.