Classification of mathematical models

Plan of a lecture

• general information about mathematical models and their classification;

• set of models, structures of models;

• linear models and sets of linear models;

• family of models of transfer functions;

• models in space of conditions; models with the distributed parameters;

• temporary characteristics; discrete models;

• discrete models in space of conditions;

• static and dynamic models in the regression form of government.

Classification of mathematical models

Physical models.Extent of abstraction of model from the original is the basis forclassification. Previously all models can be subdivided into two groups: material (physical) and abstract (mathematical). Physical model usually call system which is equivalent or similar to the original, or which has a process of functioning same as at the original, and has the same or other physical nature. It is possible to allocate the following types of physical models: natural, quasinatural, large-scale and analog.

Классификация математических моделей

Физические модели. Степень абстракции модели от оригинала является основой для классификации. Ранее все модели можно разделить на две группы: материальные (физические) и абстрактные (математическое). Физическая модель обычно называют систему, которая эквивалентна или похожа на оригинал, или который имеет процесс функционирует так же, как в оригинале, и имеет ту же или другую физическую природу. Можно выделить следующие типы физических моделей: естественное, quasinatural, крупносерийного и аналог.

Natural modelsare a real researched systems. They are called prototypes and prototypes.Natural models have complete adequacy with system original that provides high precision and reliability of results of modeling. Quasinatural models represent set of natural and mathematical models. This type of models is used in cases when the mathematical model of a part of system isn't satisfactory (for example, the person operator's model) or when a part of system be researched in interaction with other parts, but they don't exist yet, or their inclusion in model is complicated or is expensive. Computing grounds on which the software of various systems, or real ACS researched together with mathematical models of the corresponding productions is fulfilled can be examples of quasi-natural models.

Природные модели реальной исследуемых систем. Они называются прототипы и прототипы. Естественные модели имеют полную адекватность с системой оригинала, что обеспечивает высокую точность и достоверность результатов моделирования. Quasinatural модели представляют собой совокупность естественных и математических моделей. Этот тип моделей используется в тех случаях, когда математическая модель части системы не является удовлетворительным (например, модель Лицо оператора) или когда часть системы будет исследована во взаимодействии с другими частями, но они не существуют тем не менее, или их включение в модели затруднено или дорого. Вычислительный основания, по которым программное обеспечение различных систем, или реальные ACS исследовал вместе с математическими моделями соответствующих производств могут быть выполнены примеры квазиестественного моделей.

The large-scale modelis a system of the same physical nature, as the original, but differingfrom it in scales. A methodological basis of large-scale modeling is the theory of similarity which provides respect for geometrical similarity of the original and model and the corresponding scales for their parameters.

Модель крупномасштабная представляет собой систему той же физической природы, как оригинал, но отличается от нее в масштабах. Методологической основой крупномасштабного моделирования является теория подобия, которая обеспечивает соблюдение геометрического подобия оригинала и модели и соответствующих шкал для их параметров.

Analog modelsare called the systems having the physical nature different from the original,but functioning processes, similar to the original. An indispensable condition at the same time is unambiguous compliance between parameters of the studied object and its model, and also identity of dimensionless mathematical descriptions of the processes proceeding in them.

Аналоговые модели называются системы, имеющие физическую природу, отличную от оригинала, но функционирующие процессы, схожие с оригиналом. Непременным условием в то же время однозначно соответствие между параметрами изучаемого объекта и его модели, а также идентичность безразмерных математических описаний процессов, протекающих в них.

Mathematical models. The mathematical model represents the formalized description ofsystem by means of abstract language, in particular by means of the mathematical ratios reflecting process of functioning of system. For drawing up model it is possible to use any mathematical means — algebraic, differential and integral calculus, the theory of sets, the theory of algorithms etc.

Математические модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание системы с помощью абстрактного языка, в частности, с помощью математических соотношений процесса функционирования системы, отражающими. Для составления модели можно использовать любые математические средства - алгебраические, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию множеств, теории алгоритмов и т.д.

Also languages of chemical formulas, schemes, drawings, cards, charts, etc. belong to means of the abstract description of systems.

For example, mathematical models can be classified on determined and probabilistic (stochastic). The first establish unambiguous compliance between parameters and characteristics of model, and the second — between statistical values of these sizes. The choice of this or that type of model is caused by degree of need of the accounting of random factors. It is possible to distinguish from mathematical models by a method of their research analytical, numerical and imitating models.

Также языки химических формул, схем, рисунков, карт, графиков и т.д. принадлежат посредством абстрактного описания систем.

Например, математические модели могут быть классифицированы по определенным и вероятностного (стохастического). Сначала установить однозначное соответствие между параметрами и характеристиками модели, а второй - между статистическими значениями этих размеров. Выбор той или иной тип модели обусловлена степенью потребностью учета случайных факторов. Можно отличить от математических моделей методом их аналитических исследований, численного и имитационных моделей.

Analytical modelis called such formalized description of system which allows to receivethe solution of the equation in an explicit form, using the known mathematical apparatus.

Аналитическая модель называется такое формализованное описание системы, которая позволяет получить решение уравнения в явном виде, с использованием известного математического аппарата.

The numerical modelis characterized by dependence of such look which allows onlyprivate numerical decisions for specific entry conditions and quantitative parameters of model.

The imitating modelis a set of the description of system and external influences,algorithms of functioning of system or rules of change of a condition of system under the influence of external and internal indignations.

Численная модель характеризуется зависимостью такой вид, который позволяет только частные численные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров модели.

Модель имитационная представляет собой набор описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущениях.

The variety of systems and objects which is shown in variety of their structurally functional organization defines use of a set of different models which can be classified depending on:

Разнообразие систем и объектов, который показан в разнообразии их структурной функциональной организации определяет использование набора различных моделей, которые могут быть классифицированы в зависимости от:

1) the nature of functioning of the studied system:

· determined which functioning is described by the determined sizes;

· stochastic or probabilistic which functioning is described by random variables

2) character proceeding in the studied system of processes:

· is continuous in which processes proceed continuously in time;

· is discrete in which processes change the state in discrete timepoints.

3) degrees of reliability of basic data about the studied system:

· with a priori known parameters;

· with unknown parameters.

4) mode of functioning of system:

· is stationary in which characteristics don't change over time;

· is non-stationary in which characteristics change over time.

5) appointments:

· the static or structural, displaying structure and structure of system;

· the dynamic or functional, displaying functioning systems in time;

· is the structurally functional, displaying structural and functional features of the organization of the studied system.

6) way of representation (description) and realization:

· conceptual or substantial, representing the description (in the elementary case verbal) the most essential features of the structurally functional organization of the studied system;

· physical or material - the models equivalent or similar to the original (models) or process of functioning of which same as at the original also has the same or other physical nature;

· mathematical or abstract, representing the formalized description of system by means of abstract language, in particular by means of the mathematical ratios reflecting process of functioning of system;

· program (algorithmic, computer), the W based on application of means both representing usually program complex and allowing to present visually and

effectively studied object by means of imitation or graphic display of the mathematical dependences describing a required object.

Let's note that the same objects can be described by mathematical models, various on complexity. The main criterion of the choice at the same time is her adequacy to the studied object.

1) характер функционирования исследуемой системы:

• определяется, функционирование которых описывается определенных размеров;

• стохастические или вероятностные, функционирование которых описывается случайными величинами

2) характер разбирательства в исследуемой системе процессов:

• непрерывна, в котором процессы непрерывно происходят во времени;

• дискретно, в котором процессы изменения состояния в дискретных временных точках.

3) степени надежности основных данных о исследуемой системе:

• с априорно известными параметрами;

• с неизвестными параметрами.

4) режим функционирования системы:

• находится в неподвижном состоянии, в котором характеристики не изменяются с течением времени;

• нестационарно, в котором характеристики изменяются с течением времени.

5) назначение:

• статический или структурный, отображающий структуру и структуру системы;
• динамический или функциональный, отображение функционирующих систем во времени;

• является структурно-функциональные, отображающие структурные и функциональные особенности организации исследуемой системы.

6) способ представления (описание) и реализации:

• концептуальная или существенная, представляющий описание (в простейшемслучае словесное) наиболее существенные особенности структурно-функциональной организации исследуемой системы;

• физический или материальный - модели, эквивалентные или аналогичныеоригинальным (модели) или процесс функционирования которого такой же, как воригинале также имеет один и тот же или другой физической природы;

• математическое или абстрактным, представляя формализованное описаниесистемы с помощью абстрактного языка, в частности, с помощью математическихсоотношений процесса функционирования системы, отражающих;

• Программа (алгоритмических, компьютер), то W, основанный на применениисредств как правило, представляющие программный комплекс и позволяющий представить визуально и

эффективно исследуемый объект с помощью имитации или графического отображения математических зависимостей, описывающих нужный объект.

Отметим, что одни и те же объекты могут быть описаны с помощью математических моделей, различных по сложности. Главным критерием выбора в то же время является ее адекватность объекта исследования.