Виды математических моделей двойственных задач
Любой задаче линейного программирования (исходной или прямой) можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару двойственных (или сопряженных) задач линейного программирования. Каждая из задач является двойственной к другой задаче рассматриваемой пары.
Рассмотрим составление двойственной задачи на примере задачи использования сырья.
Имеется m видов сырья в количестве , которые используются для изготовления n видов продукции. Известно: aij – расход i-го вида сырья на единицу j-й продукции; сj - прибыль при реализации единицы j-го вида продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.
Математическая модель данной задачи имеет вид
, (5.1)
(5.2)
, j = 1, 2, . . . , n. (5.3)
Здесь , j = 1, 2, ..., n – объем производства j-го вида продукции.
Предположим, что имеется второй производитель, который хочет перекупить сырье. Составим двойственную задачу, решение которой позволяет определить условия продажи сырья. Введем вектор оценок (цен) видов сырья Y = ( ). Затраты на приобретение i-го вида сырья в количестве равны . Второму производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение всех видов сырья, поэтому целевая функция имеет вид
. (5.4)
Первому производителю невыгодно продавать сырье, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемых на каждое изделие j-й продукции
,
меньше прибыли , получаемой при реализации этого изделия. Система ограничений задачи имеет вид
(5.5)
Очевидно, что оценки видов сырья должны удовлетворять условиям неотрицательности
, i = 1, 2, ..., m. (5.6)
Таким образом, связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффициенты целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи.
Рассмотренная пара задач относится к симметричным парам двойственных задач. В теории двойственности используются четыре пары двойственных задач (приведем их в матричной форме записи).
Исходная задача: Двойственная задача:
Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 963;