Примеры составления математических моделей задач линейного программирования

Задача использования ресурсов (сырья). Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов (сырья). Известны: (i =1, 2, ..., m) – запасы каждого i-го вида ресурса (сырья);
, (i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, 3, ..., n)– затраты каждого i-го вида ресурса (сырья) на производство единицы объема j-го вида продукции;
(j = 1, 2, 3, ..., n) –прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции. Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение. Введем вектор переменных задачи ), где (j = 1, 2, ..., n) – объем производства j-го вида продукции. Затраты i-го вида ресурса (сырья) на изготовление данного объема продукции равны , поэтому ограничение на использование этого вида ресурса (сырья) имеет вид . Прибыль от реализации j-го вида продукции равна , поэтому целевая функция .

Математическая модель имеет вид

.

Задача составления рациона. Для полноценного откорма каждое животное должно получать ежедневно m питательных веществ в количествах не менее . В рацион животных входят n видов кормов. Известно: (i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, 3, ..., n) – содержание i-го питательного вещества в единице j-го вида корма;
(j = 1, 2, 3, ..., n) – стоимость единицы j-го вида корма. Требуется составить суточный рацион полноценного откорма животных, обеспечивающий минимальные затраты.

Решение. Введем переменные задачи ), где
(j = 1, 2,..., n)– объем j-го вида корма, входящего в суточный рацион. Так как – количество i-го питательного вещества, содержащегося в j-м виде корма, – стоимость j-го вида корма, входящего в суточный рацион, то математическая модель имеет вид

.