Распределение Больцмана

До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться. Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.

Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно p, то на высоте h+dhоно равно p+dp (при dh > 0, dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h).

Разность давления на высотах h и h+dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой dh.

плотность на высоте h, и так как , то = const.

Тогда

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Тогда

Или

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от p₁ до p₂

Пропотенцируем данное выражение (

Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой

При

Тогда

Т.к.

,

а

то

n концентрация молекул на высоте h,

n₀ концентрация молекул на высоте h=0.

Т.к

то

потенциальная энергия молекул в поле тяготения

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.

Ж. Перрен (французкий ученый) в 1909 г. исследовал поведение броуновских частиц в эмульсии гуммигута (сок деревьев) с размерами осматривались с помощью микроскопа, который имел глубину поля - 1мкм. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.

Применив к ним распределение Больцмана можно записать

n= - где m-масса частицы

m - масса вытесненной жидкости:

Если n₁ и n₂ концентрация частиц на уровнях h₁ и h₂, а k=R/N_A, то

N_A=

Значение хорошо согласуется со справочным значением , что подтверждает больцмановское распределение частиц.