Пример № 3. Проверка адекватности теоретической зависимости

Задача:проверить адекватностьзависимости | f_pbr ^max| , предназначенной для определения отклонения шага зацепления зубчатого колеса при электроэрозионном зубовырезании.

| f_pbr ^max| = −2,483 + 9,944 · m + 4,509 · 10^-2 · z +

+3,780 · 10^-2 ∙ N1 – 3,947 · 10^-2 · m · z – 0,324 · m · N1 −

−3,095 · 10^-4 · z · N1 + 1,850 · 10^-3 · z · m · N1

Зависимость должна давать достоверный результат оценки

выходного параметра | f_pbr ^max | для следующих условий:

- станок с ЧПУ СВЭИ-7 (погрешности линейных перемещений

по осям Х и Y одинаковы: Δ ; дискретность системы

ЧПУ – Д = 0,001 мм);

- модуль зубчатого колеса m = 1,25 … 10,00 мм;

- число зубьев зубчатого колеса z = 20 … 80;

- число формообразующих точек N1 = 7 … 30;

- интерполятор системы ЧПУ линейный;

- координаты формообразующих точек траектории задаются в абсолютных величинах;

- распределение формообразующих точек траектории равноудаленное (шаг от точки к точке nℓ =const).

Решение задачи:

Для проверки адекватности предложенной зависимости (2) про-

веден натурный однофакторный эксперимент при следующих условиях:

1) станок – СВЭИ-7 с генератором импульсов ГКИ-300-200 А;

2) инструмент− калиброванная проволока d_и = 0,2 мм из латуни

Л63, ГОСТ 1066;

3) заготовка – пластина из стали 20Х, ГОСТ 1577;

4) рабочая жидкость− вода, ГОСТ Р 51232;

5) элементы режима обработки для условий обеспечения восьмой

степени точности зубчатого колеса (Ra = 1,25 мкм – нормируемый

параметр шероховатости боковой эвольвентной поверхности зуба

зубчатого колеса ): частота следования импульсов f = 44 кГц; сила

тока короткого замыкания Jкз = 0,8 А; средняя сила тока Jср = 0,6 А;

напряжение холостого хода Uо = 150 В; напряжение пробоя

Uпр = 75 В; длительность импульсов τ_и = 2,5 мкс; период повторения

импульсов τ_пр = 22,7 мкс; скважность импульсов q= 9; сила натяжения проволочного электрода-инструмента F = 8,8 Н; скорость перемотки проволочного электрода-инструмента U_пр = 28 мм/с ; рас-

стояние между направляющими проволочного электрода-инструмента

ℓ_пр = 29 мм ; положение заготовки относительно направляющих

проволочного электрода-инструмента симметричное;

6) осуществлялась обработка четырех зубчатых колес с m = 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 мм при z = 20. Необходимое для обеспечения заданной степени точности число точек N1 = 11; 13; 14; 16 соответственно для m = 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 мм;

7) в качестве средства измерения для оценки действительных значений отклонения шага зацепления использовали прибор – УЗП-400 завода МИЗ (универсальный зубоизмерительный прибор), оснащенный индикатором многооборотным 1 МИГ, ГОСТ 9696 с погрешностью измерения ±1 мкм и набором плоскопараллельных концевых мер № 1 и № 2, ГОСТ 9038. Предварительная метрологическая оценка этого прибора показала, что относительная погрешность измерения составляет ±22 %, что меньше допустимой ±30 %;

8) число параллельных опытов Nо принято равным трем (см. пример № 1).

Исходные данные для дисперсионного анализа представлены в табл. 4.

Таблица 4 – Исходные данные для дисперсионного анализа

Примечание. Индекс э− натурный эксперимент; индекс р − расчет по теоретической зависимости.

Проверим наличие промаховв каждой из четырех групп

результатов измерения | f_pbr ^max|_эi, мкм, по критерию Шовине, учитывая, что число параллельных опытов (Nо = 3).

Результат измерения является промахом, если

– среднее арифметическое значение результатов измерения в группе, мкм;

– результат измерения в группе, мкм;

σ –средняя квадратическая погрешность единичного измерения:

(13)

Результаты обработки данных сведены в табл. 5, из которой следует, что во всех группах промахов нет.

Таблица 5 – Результаты оценки наличия промахов

Группа	, мкм
	8,17	0,83	1,66
1,17
0,33
	10,33	1,33	2,45
1,67
0,33
	13,83	0,17	2,016
1,33
1,17
	15,5	1,50	2,13
1,00
0,50

Таким образом, результаты измерения являются достоверными, и их можно использовать для последующего дисперсионного анализа.

Среднее арифметическое всех экспериментальных данных:

(14)

где N – суммарное число опытов: N = 12;

Определим сумму остатков:

(15)

= 1,44 + 0,64 + 0,49 + 0,49 + 5,29 + 0,09 + 2,25 + 0 + 6,25 +

+5,76 + 0,01 + 0,16 = 22,87мкм.

Сумма регрессии:

(16)

= 17,31 + 17,31 + 17,31 + 5,11 + 5,11 + 5,11 + 0,29 + 0,29 +

+0,29 + 6,97 + 6,97 + 6,97 = 89,04 мкм.

Сумма квадратов «чистой» ошибки:

(17)

где Nг − число групп опытов: Nг = 4; N₀ = 3;

= 2,18 + 4,67 + 3,17 + 3,50 = 13,52 мкм².

Средний квадрат регрессии:

(18)

где − число степеней свободы регрессии: = 1 (однофакторный

эксперимент), следовательно = 89,04 мкм.

Средний квадрат остатка:

(19)

где −число степеней свободы остатка: = + ,

− число степеней свободы «чистой» ошибки:

где − число степеней свободы группы (см. табл. 4):

= Nо − 1; = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ;

− число степени свободы неадекватности:

= Nо − 1; = 3 − 1 = 2.

Следовательно,

= 8 + 2 = 10.

Средний квадрат «чистой» ошибки:

(20)

Средний квадрат неадекватности:

(21)

(22)

Сумма квадратов скорректированного источника дисперсии

; (23)

= 89,04 + 9,35 + 13,52 = 111,91 мкм².

Расчетный критерий Фишера:

(24)

Табличный критерий Фишера:

F_T = 4,46,

так как v_r = 2, v_l = 8, γ = 0,95 (95 %).

Так как F_p < F_T, то зависимость для определения отклонения

шага зацепления | f_pbr ^max |, мкм, адекватно описывает взаимосвязь этого

выходного параметра с входными конструктивно-технологическими

параметрами.

Дополнительно определим величину коэффициента детерминации и множественного коэффициента корреляции:

(25)

Так как R_Ф> 0,51, то существует тесная корреляционная связь

между экспериментальными и расчетными значениями отклонения

шага зацепления зубчатого колеса.

Исходная зависимость | f_pbr ^max |, позволяет на 89 % объяснить общий

разброс данных относительно среднего .

Оценим степень соответствия этой зависимости результатам экспериментальных данных путем построения графиков (рис. 2).

Найдем наибольшую относительную погрешностьв расхождении результатов расчета с практикой (max при m = 2,5 мм):

(26)

Следовательно, относительная погрешность не превышает допустимую – 15 %.

В данном примере приведена методика оценки степени соответствия результатов аналитического исследования результатам натурного эксперимента. Эту методику можно использовать для решения других аналогичных задач.