Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию.

Для определения влияния постоянного фактора на величину вариации пользуются аналитической группировкой.

Размеры систематической вариации определяются при помощи дисперсии групповых средних.

Межгрупповая дисперсия s² характеризует колеблемость групповых или частных средних около общей средней и исчисляется по формулам:

где

- средняя по всей совокупности;

n - число единиц совокупности;

n_i - частоты или веса.

Таким образом, межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, которая возникает под влиянием фактора признака, положенного в основу группировки.

Для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют дисперсию в пределах каждой группы, т.е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия (Sj) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, которая возникает по влиянием всех факторов, кроме положенного в основание группировки. Чтобы определить её, надо рассчитать вначале внутригруппировочные дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю из них:

Между общей дисперсией средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсией существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака. Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида. Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения:

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.

Если η= 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если η= 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение понятию «вариация».
2. Какие виды вариации можете перечислить?
3. Что понимается под систематической и случайной вариацией?
4. Какие существуют показатели вариации и для каких целей они применяются?
5. Размах вариации.
6. Порядок расчета среднего линейного отклонения.
7. Понятие дисперсии признака.
8. Свойства дисперсии и ее расчет.
9. Что такое среднее квадратическое отклонение и каков по­рядок его вычисления?
10. Что такое коэффициент вариации, для каких целей он применяется и как рассчитывается?
11. В чем сущность показателя дисперсия?
12. Свойства и правила сложения дисперсий.
13. Эмпирическое корреляционное отношение и порядок его интерпретации.