Другие виды степенных средних величин

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

Например, имеются следующие данные:

Необходимо определить среднюю производительность труда. Для решения этой задачи необходимо пользоваться средней гармонической взвешенной:

Средняя хронологическаяприменяется для оценки среднего уровня ряда динамики. При наличии информации на моменты времени с равными интервалами между ними используется средняя хронологическая простая:

, где

n – число моментов (дат)

Средняя геометрическая применяется, как правило, для оценки среднего показателя относительных величин (например, средний темп роста).

Средняя геометрическая простая определяется по формуле:

Средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле:

Средняя квадратическая применяется для определения средних размеров диаметров труб стальных, стволов деревьев и т.д. Этот вид средней также используется при расчете показателей вариации

· простая:

· взвешенная:

При расчете различных степенных средних по одним и тем же данных статистического наблюдения средние не буду одинаковы. Чем выше степень k средней, тем больше ее величина. Математически доказано, что между величинами степенных средних, рассчитанных по одной и той же совокупности единиц статистического наблюдения и одному и тому же признаку, существует следующее соотношение:

_{гарм < геом} < _{ар < кв.}

Мода и медиана

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными сред­ними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Например, если совокупность состоит из значений:

2,4,5,4,5,3,2,4,5,5,5,4,4,3,3,2,3,4

то мода равна 4, поскольку повторяется больше всех (6 раз)

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

При этом модальным интервалом называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.

Определим медиану заработной платы рабочих.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 1600 руб., и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Квартили и децили

Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили;в первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартиль можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих десятые части — децилях и т.д.

Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядкового номера соответствующего варианта, а затем по накопленным частотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже абсолютно аналогично нахождению медианы.

В интервальном вариационном ряду квартили внутри определенного по накопленным частотам интервала рассчитываются по следующим формулам: 1

Нижний квартиль

Верхний квартиль

, где

х₀ — нижняя граница квартальных интервалов;

i — величина интервала;

— сумма частот;

— накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;

— накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю;

- частота квартального интервала.

Формулы для децилей в интервальном вариационном ряду за­писываются следующим образом:

и т.д.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое средние величины и каковы их роль и значение?

2. Какие существуют средние величины и как рассчитываются средняя арифметическая простая и взвешенная?

3. Как осуществляется расчет средней арифметической по дан­ным интервального ряда?

4. Свойства средней арифметической.

5. Средняя хронологическая для интервального и моментного ряда.

6. Что такое средняя гармоническая и как рассчитать среднюю гармоническую простую и взвешенную?

7. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариа­ционного и интервального ряда?

8. Что такое медиана, какими свойствами она обладает и как рассчитывается медиана для интервального ряда?

9. Квартили и децили. Для каких целей они применяются и как они рассчитываются?