Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой

производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения путь все больше будет приближаться к поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

При неравномерном движения модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной — средней скоро­стью неравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что так как и только в случае прямолиней-

Ного движения

Если выражение (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре-

делах от t до то найдем длину пути, пройденного точкой за время

(2.3)

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁, до t₂, дается

Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время движущаяся точка перешла в положение В и приобрела

скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную Перенесем вектор v₁в точку А и найдем (рис. 4).

Средни ускорением неравномерного движения в интервале от / до называется

векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу вре­мени

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения: