И множественный коэффициент детерминации

Множественный коэффициент корреляции используется в качестве меры степени тесноты статистической связи между результирующим показателем (зависимой переменной) y и набором объясняющих (независимых) переменных или, иначе говоря, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Множественный коэффициент корреляции может быть вычислен по ряду формул[4], в том числе:

¨ с использованием матрицы парных коэффициентов корреляции

, (3.18)

где Dr - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции y, ,

Dr₁₁ - определитель матрицы межфакторной корреляции ;

¨ стандартизованных коэффициентов регрессии и парных коэффициентов корреляции

. (3.19)

Для модели, в которой присутствуют две независимые переменные, формула (3.18) упрощается

. (3.20)

Квадрат множественного коэффициента корреляции равен коэффициенту детерминации R². Как и в случае парной регрессии, R² свидетельствует о качестве регрессионной модели и отражает долю общей вариации результирующего признака y, объясненную изменением функции регрессии f(x) (см. 2.4). Кроме того, коэффициент детерминации может быть найден по формуле

. (3.21)

Однако использование R² в случае множественной регрессии является не вполне корректным, так как коэффициент детерминации возрастает при добавлении регрессоров в модель. Это происходит потому, что остаточная дисперсия уменьшается при введении дополнительных переменных. И если число факторов приблизится к числу наблюдений, то остаточная дисперсия будет равна нулю, и коэффициент множественной корреляции, а значит и коэффициент детерминации, приблизятся к единице, хотя в действительности связь между факторами и результатом и объясняющая способность уравнения регрессии могут быть значительно ниже.

Для того чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют скорректированный коэффициент детерминации

(3.22)

Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше R². Кроме того, в отличие от R², который всегда положителен, может принимать и отрицательное значение.

Пример (продолжение примера 1). Рассчитаем множественный коэффициент корреляции, согласно формуле (3.20):

=0,8601.

Величина множественного коэффициента корреляции, равного 0,8601, свидетельствует о сильной взаимосвязи стоимости перевозки с весом груза и расстоянием, на которое он перевозится.

Коэффициент детерминации равен: R²=0,7399.

Скорректированный коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (3.22):

=0,7092.

Заметим, что величина скорректированного коэффициента детерминации отличается от величины коэффициента детерминации.

Таким образом, 70,9% вариации зависимой переменной (стоимости перевозки) объясняется вариацией независимых переменных (весом груза и расстоянием перевозки). Остальные 29,1% вариации зависимой переменной объясняются факторами, неучтенными в модели.

Величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, мы смогли учесть в модели наиболее существенные факторы, определяющие стоимость перевозки. Ñ