Свойства перспективного отображения.
1. Перспективное отображение биективно;
2. Общая точка прямых при перспективном отображении переходит в себя;
3. При перспективном отображении сохраняется двойное или сложное отношение четырех точек
Теорема 5.8. (Паскаля – Паппа).
Пусть на различных прямых взяты по три различных точки и . Точки пересечения прямых лежат на одной прямой.
Доказательство.
1.Рассмотрим проективное отображение . Определим это проективное отображение как композицию двух перспективных отображений
2. Введем дополнительные точки
3. Рассмотрим образы точек прямой А4А5 при двух перспективных отображениях
Проективное отображение , переводящее А4А5 в А5А6, переводит точку А5 в себя, а значит - перспективное отображение по свойству 3.
4. Найдем центр перспективы. Так как , то центр перспективы совпадает с точкой пересечения прямых .
5. Точка , следовательно PQ проходит через R, а значит, P,Q,R коллинеарны.
Определение 5.9. Взаимное отображение пучка на пучок называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.
Теорема 5.10.Существует единственное отображение, переводящее пучка в пучок , переводящее прямые пучка в прямые пучка .
Определение 5.11.Два пучка и называются перспективными, если они перспективны одному и тому же прямолинейному ряду (прямой), или иначе, если они проектируют один и тот же ряд, следовательно, все точки пересечения соответственных прямых пучков и лежат на одной прямой , называемой осью перспективы.
Дата добавления: 2017-01-29; просмотров: 1049;