Построение четвёртой гармонической точки к трем данным

Свойства полного четырехвершинника.

1. На каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек: одна пара точек этой четверки – вершины, другая образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки.

2. На каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек: одна пара точек этой четверки – диагональные точки, другая – точки пересечения сторон, проходящих через третью диагональную точку, с данной диагональю.

3. Через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых: одна пара прямых – две противоположные стороны, другая – две диагонали.

В силу свойств полного четырехвершинника построение четвертого гармонического элемента может быть выполнено проективными средствами, т.е. с помощью одной линейки.

Построение четвёртой гармонической точки к трем данным

Решение.

1. Проводим через точку две произвольные прямые и .

2. Через точку проводим произвольную прямую : .

3. Проводим прямые и : .

4. Проводим прямую - полный четырехвершинник.

5. По свойству 2 точка пересечения стороны с диагональю является четвертой гармонической к точкам .

Задача №2. Построить четвертую гармоническую точку к трем данным точкам на расширенной прямой.

Решение.

1. Возьмем на расширенной прямой репер . Пусть точка имеет координаты относительно данного репера. По свойству сложного отношения четырех точек имеем: и значит .

2. Построим точку по координатам относительно данного репера.