Тпелі, қалыптасу және еркін процестер

Жалпы жағдайда параметрлері R, L және C бар сызықты электр тізбектің талдауы Кирхгофтың заңдарын көрсететін сызықты әр текті дифференциалды теңдеулерді шешуге келеді.

Мысалы, уақыт бойынша өзгеретін ЭҚК е(t) тізбектеп қосылған R, L және C элементтері бар тізбекке қосылса, онда бұл тізбек үшін Кирхгофтың екінші заңы:

,

Мұнда і - өтпелі процестің тоғы, өтпелі ток деп аталады.

Бұл теңдеу дифференциалдаудан кейін екінші дәрежелі әр текті дифферециалды теңдеуге келеді

.

Мұндай теңдеудің жалпы интегралы әр текті теңдеудің жеке шешуімен бір текті теңдеудің жалпы шешуінің қосындысына тең.

Өтпелі процесс біткеннен кейін көзбен тапсырылатын қалыптасу ереже басталады.

Қалыптасу ережесі кезінде:

,

Мұнда i_қ – қалыптасу тоқ.

Осы теңдеулерден, і – і_қ = і_е деп белгілеп табамыз.

немесе

Өтпелі процестің және қалыптасу ереженің токтар және кернеулер айырымын еркін ток және еркін кернеу деп атайды.

Бір текті теңдеудің түрі:

, ал оған сәйкесті сипаттамалы теңдеу

Бұл теңдеудің жалпы шешімі

,

Мұнда р₁ және р₂ – сипаттамалы теңдеудің түбірлері,

А₁ және А₂ – интегралдаудың тұрақтылары.

Тізбектегі толық өтпелі ток қалыптасқан және еркін токтардың қосындысына тең:

Коммутация заңдары бойынша басты тәуелсіз жағдайларды, яғни және табуға болады.

Бұдан кейін жазуға болады.

і_L(0) = і_Lқ(0) + і_Le(0);

U_c(0) = U_cқ(0) + U_ce(0), ал бұдан шығады:

і_Lе(0) = і_L(0) - і_Lқ(0);

U_cе(0) = U_c(0) - U_cқ(0)

Егер нөлдік басты жағдайлар болса, онда

і_Lе(0) =- і_Lқ(0);

U_cе(0) =- U_cқ(0).

5.4 Тармақталған тізбекте өтпелі процесті есептеу (классикалық әдіс)

Тармақталған сызықты тізбекте өтпелі процесс тұрақты коэффициенттері бар сызықты дифференциалды теңдеулер жүйесімен бейнеленеді. Жалпы шешу қалыптасқан және еркін құрастырушылардың қосындысы деп табылады.

Көбінесе әсер ететін функция, мысалы көздің ЭҚК-і қорытынды түрде көрсетіледі, мұнда - комплексті сан.

Егер де болса, онда ЭҚК гармоникалы болады.

Егер де болса, онда көрсеткіш функция болады; с = 0 кезде ЭҚК тұрақты болады

Тармақтардағы токтарды өтпелі процесс кезінде табу үшін (ЭҚК Е және параметрлер R, L, С белгілі кезде) комплексті түрде коммутация алдында және коммутациядан кейін қалыптасқан токтың құрыстырушысын табудан бастаймыз.

Еркін тоқтарды және кернеулерді белгілеуді тізбектің сипаттамалы теңдеуін құрудан бастаймыз.

Ол үшін 4.1-суреттегі сүлбені қараймыз. Қосқыш Қ тұйықталған кезде еркін құрастырушылардың лезді мәндеріне контурлық токтар әдісімен теңдеулерді жазамыз:

4.1 – сурет

R₁₁, R₂₂, L₂₂, C₁₁, C₂₂ – контурлардың кедергілері, сыйымдылықтары және индуктивтіктері, ал - екі көршілес контурлардың жалпы кедергісі деп белгілейміз, онда

Бұл теңдеу жүйенің шешуі мынадай болады:

.

Онда ;

.

Туындылардың және интегралдардың мәндерін бірінші теңдеулерге қойып, табамыз:

Табылған екі біртекті екі белгісіз және токтары бар теңдеулер жүйесі нөлдік шешімден бөлек, тек егерде жүйенің анықтаушы нөлге тең болса, болады:

Мұндағы р-теңдеу -дің түбірі, ал теңдеу дифференциалды теңдеулер үшін сипаттамалы теңдеу.

Қандайда болған тармақ үшін, мысалы бірінші тармақ үшін, р-ға тәуелді кіріс кедергіні жазайық:

Егерде нөлге тең деп аталсақ, онда бірден сипаттамалы теңдеу шығады.

Жүйенің сипаттамалы теңдеуінің түбірлерін тапқаннан кейін әрбір контурлық ток үшін жалпы түрін жазамыз.

Бірнеше жағдай болуы мүмкін:

а) және түбірлер – затты және әртүрлі:

б) және түбірлер – затты және бірдей, яғни :

в) түбір-затты, және түбірлер – комплексті және ілесу, яғни

Сонымен, классикалық әдіспен өтпелі процесті есептеу келесі тәртіп бойынша өткізіледі:

1 Коммутацияның алдындағы ереже есептеліп, онда ырғақты өзгермейтін функциялардың (индуктивтегі токтар және сыйымдылықтағы кернеулер) соңғы мәндері (яғни - кездегі) белгіленеді. Содан кейін, коммутацияның заңдарын қолданып, тәуелсіз басты жағдайлар, яғни және табылады.

2 Тізбектегі коммутациядан кейінгі процесті бейнелейтін Кирхгоф заңдары бойынша жазылған дифференциалды теңдеулер жүйесі құрылады.

3 Біртекті дифференциалды теңдеулердің жалпы шешімі табылады.

4 Біртекті емес дифференциалды теңдеулердің жеке шешімі табылады.

5 1 пунктте табылған тәуелсіз басты жағдайлар және 2 пунктте кез үшін қолданған Кирхгофтың теңдеулері бойынша тәуелді басты жағдайлар белгіленеді.

6 Жалпы шешімде болатын интегралдаудың тұрақтыларын басты жағдайлар бойынша белгіленеді.

7 Табылған қалыптасқан және еркін токтар және кернеулер қосылады.