Уравнение эвольвенты

Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 3.3. Положение произвольной точки A_y эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиус-вектора OA₀ (или OC₀): длиной радиус-вектора R_y и углом θ_y. Радиус-вектор R_y определим из прямоугольного треугольника OA_yC_y:

Для определения полярного угла θ_y сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу α_y катет A_yC_y в ∆OA_yC_y:

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно θ_y, получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 3.3 угол α_y называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, т. е. inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

θ_y = invα_y.

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент α_y изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.