Основной закон зацепления

Этот закон устанавливает связь между геометрией профилей зубьев и условиями передачи движения в зубчатом зацеплении (в более широком смысле – между геометрией элементов высшей пары и условиями передачи движения в механизме с высшей парой).

Возьмём две центроиды Ц₁ и Ц₂, принадлежащие колёсам 1 и 2 (рис. 3.1). Эти центроиды касаются друг друга в точке П (прописная греческая буква «пи»), называемой полюсом зацепления.

Свяжем с центроидами профили Пр₁ и Пр₂ так, чтобы они касались друг друга в точке К. Относительная скорость точки К₁ профиля Пр₁ по отношению к совпадающей с ней точке К₂ профиля Пр₂, (в данный момент обе точки находятся на нормали n–n в точке K) обозначена на рис.3.1 как V_отн. Докажем следующие два положения: 1). Вектор перпендикулярен нормали, в противном случае появится составляющая относительной скорости, направленная вдоль неё. Если эта составляющая будет направлена в сторону Пр₂, то произойдёт внедрение профиля Пр₁ в профиль Пр₂, если она будет направлена в обратную сторону, то произойдёт отрыв профилей друг от друга. В обоих случаях высшая пара будет разрушена. Так что данное положение доказано.

2) Вектор перпендикулярен отрезку КП. Так как полюс П является мгновенным центром поворота центроиды Ц₁ относительно центроиды Ц₂, то, согласно положению теоретической механики, все точки, связанные с центроидой Ц₁, имеют скорости, направленные перпендикулярно отрезку, соединяющему данную точку с центром (полюсом) поворота. Это и служит доказательством перпендикулярности вектора скорости и отрезка КП. Следует также отметить, что полюс зацепления – это не только точка касания центроид, но и точка пересечения контактной нормали профилей с линией центров колёс.

Доказанные положения позволяют сделать следующий вывод. Нормаль к профилям, проведённая в точке их касания, пересекает линию центров колёс в точке, совпадающей с полюсом зацепления, и таким образом делит межосевое расстояние центроид колёс на отрезки, обратно пропорциональные их угловым скоростям,

.

Другими словами, для правильной передачи движения с помощью высшей кинематической пары необходимо обеспечивать такую форму профилей зубьев, при которой нормаль к ним в точке контакта (контактная нормаль) проходила бы через полюс зацепления.

Из этих рассуждений следует также, что полюс зацепления – это не только точка касания центроид, но и точка пересечения контактной нормали с межосевой линией.

Профили, подчиняющиеся основному закону зацепления, называются сопряжёнными.

Следствие 1. Если полюс П занимает неизменное положение на линии центров колёс, то передаточное отношение постоянно, и радиусы центроид также постоянны. Это соответствует круглым зубчатым колёсам. В противном случае колёса некруглые.

Следствие 2. Если полюс П находится между центрами колёс, то они вращаются в противоположные стороны (внешнее зацепление колёс), и передаточное отношение имеет отрицательный знак.

Следствие 3. Если полюс П находится вне отрезка О₁О₂, (выше или ниже этих центров), то колёса вращаются в одну сторону (внутреннее зацепление колёс).

Следствие 4. Относительная скорость в точке касания профилей по существу является скоростью скольжения профилей зубьев. Чем дальше от полюса находится точка касания профилей, тем больше в ней скорость скольжения. Если в процессе передачи движения точка контакта профилей совпадёт с полюсом, то в этот момент скорость скольжения будет равна нулю.

Существует большое количество профилей зубьев, удовлетворяющих этому закону. При выборе формы профилей руководствуются их технологичностью (простотой изготовления), простотой инструмента и расчетов. Этим требованиям в полной мере отвечает эвольвентное зацепление.

3.2. Эвольвента окружности, её свойства и уравнение

Эвольвента – это траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по окружности.

Образование эвольвенты можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.