Волновое уравнение для электромагнитных волн

Качественные соображения, указывающие на возможность существования электромагнитных волн, заключаются в следующем. Согласно уравнениям Максвелла, переменное электрическое поле (ток смещения) порождает магнитное, которое тоже должно быть переменным (чтобы порождаемое магнитное поле было постоянным необходимо постоянство производной , чего не может быть в течение длительного времени). Переменное магнитное поле, в свою очередь, порождает переменное электрическое, и т.д.. В результате в пространстве должна возникнуть последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей. Этот процесс может быть бесконечным во времени и пространстве и представляет собой электромагнитную волну.

Покажем теперь более строго, что существование электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла. Для этого необходимо из уравнений Максвелла получить волновое уравнение. С этой целью рассмотрим однородную, нейтральную (плотность заряда ), не проводящую (плотность тока ) среду с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями. С учетом этих ограничений будем использовать следующие соотношения:

; ; ; , (22.1)

и представим уравнения Максвелла в виде:

; (22.2)

; (22.3)

; (22.4)

. (22.5)

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (22.2) и поменяем порядок дифференцирования в правой части:

. (22.6)

Подставим в (22.6) выражение для ротора из уравнения (22.4):

. (22.7)

Воспользуемся тождеством векторного анализа: :

. (22.8)

Учтем, что, согласно (22.3), , и получим:

. (22.9)

Величина называется электродинамической постоянной и равна скорости света в вакууме. Поэтому (22.9) можно представить в виде:

. (22.10)

Это уравнение является волновым уравнением для вектора напряженности электрического поля.

Аналогичные преобразования можно провести, начиная с уравнения (22.4), и получить в результате волновое уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

. (22.11)

Таким образом, электрическое и магнитное поля могут существовать в виде электромагнитной волны, фазовая скорость распространения которой (квадратный корень из величины коэффициента перед производной по времени в волновом уравнении),

. (22.12)