Скорость упругих волн в твердой среде

Для расчета скорости упругих волн необходимо получить волновое уравнение, описывающее распространение волн в твердой среде и, в соответствии с (22.26), приравнять квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени скорости распространения волны.

С этой целью рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в вдоль оси Ох. Смещение из положения равновесия частиц зависит от координаты х: . Выделим в среде цилиндрический объем с основанием и высотой , которую будем предполагать значительно меньшей длины рассматриваемой волны - рисунок 22.3. В некоторый момент времени смещение из положения равновесия основания с координатой х равно , а основания с координатой - . Поэтому при распространении волны объем деформируется, получая алгебраическое удлинение . Среднее на длине относительное удлинение цилиндра равно . Истинное относительное удлинение в сечении с координатой х получим, устремив :

. (22.28)

Будем считать деформации в среде достаточно малыми, чтобы выполнялся закон Гука. Тогда механическое напряжение в среде связано с относительной деформацией соотношением:

, (22.29)

где - модуль Юнга среды.

Для того чтобы получить волновое уравнение, рассмотрим уравнение движения объема . Положим высоту достаточно малой, чтобы ускорение всех точек можно было считать одинаковым и равным . Если плотность недеформированной среды равна , то масса цилиндра равна =

= . Ускорение деформированного цилиндра по второму закону Ньютона определяется результирующей силой , действующей на него, а она, в свою очередь, разностью деформаций цилиндра в сечениях с координатами х +x и х+Dx+x+Dx:

(22.30)

Поскольку величины малые, то по формуле для малых найдем:

и (22.31)

Подставим эти выражения в (22.30) и получим выражение для силы в виде:

. (22.32)

При малых (!) деформациях, когда только и справедлив закон Гука, , поэтому с высокой точностью в (22.32) можно пренебречь и считать:

. (22.33)

Теперь уравнение движения цилиндра по второму закону Ньютона можно записать в виде:

откуда следует волновое уравнение для упругих волн в твердой среде:

. (22.34)

Сравнивая (22.34) и (22.26), видим, что скорость упругих волн в твердой среде

. (22.35)

Формула (22.35) получена нами для продольных волн. При распространении поперечных волн роль модуля Юнга играет модуль сдвига . Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят к следующей формуле для скорости поперечных волн:

. (22.36)

При распространении звуковых волн в газах вследствие невысокой теплопроводности газов при значительной скорости протекающих процессов смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс распространения волны является близким к адиабатическому. Скорость распространения волн в газе определяется давлением в невозмущенном волной газе, его плотностью и показателем адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме):

. (22.37)