Определения функции от матрицы.

Определение 1. Приведем некоторые примеры формул, по которым ведется вычисление основных функций на ЭВМ:

( 1)

( 2)

, ( 3)

где x – аргумент функции.

Аналогично можно задать функции от матриц:

( 4)

( 5)

, ( 6)

где – матрица (аргумент функции).

Определение 2. В большинстве случаев, за редким исключением, квадратная матрица -го порядка может быть представлена в виде произведения (разложения):

, где , ( 7)

– собственные числа матрицы ; – матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы .

Из разложения ( 7) следует:

; ; …

, ( 8)

где

. ( 9)

Подставив в формулы ( 4)-( 6), получим:

; ( 10)

; ( 11)

, ( 12)

где

; ;

. ( 13)

Данные преобразования позволяют записать общую формулу для определения функций от матрицы, которая существенно упрощает процесс вычисления:

, ( 14)

где

; ( 15)

– собственные числа матрицы , – матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы , n – порядок квадратной матрицы .

Замечание 1. Самый общий случай представления квадратной матрицы в виде произведения также имеет вид жорданова разложения

( 16)

но при этом матрица Жордана имеет квазидиагональный вид:

, ; ,

где – жорданова клетка; матрица состоит из столбцов, часть которых является собственными векторами, а часть присоединенными (или корневыми) векторами, при этом

, ( 17)

где

; ( 18)

, ( 19)

– порядок k-ой жордановой клетки.

Более подробно данный вопрос рассматривается в специальной литературе по линейной алгебре.

Дополнительный вид определения функции от матрицы. В случае, если порядки всех жордановых клеток равны единице, тогда:

,

где

, ( 20)

– собственный вектор матрицы :

, ( 21)

– собственное число.

Собственные векторы нормированы, т.е.

. ( 22)

Очевидно, что матрица Жордана представима в виде следующего разложения

. ( 23)

Матрицу можно представить в виде:

, ( 24)

где – k-я вектор-строка матрицы .

Тогда матрица может быть представлена следующим образом:

, ( 25)

где

( 26)

– оператор проектирования представимый в виде

. ( 27)

Проверим, покажем, что

. ( 28)

Вследствие ( 26) имеем:

.

Произведение является результатом умножения k-ой строки матрицы на k-й столбец матрицы . В тоже время, как известно, . Следовательно, , что доказывает формулу ( 28).

Соответственно функция от матрицы будет иметь вид:

( 29)

В частности, справедливы формулы:

; ; . ( 30)

Такая запись применяется, к примеру, для получения общего решения задачи динамики.

Замечание 2. Функции от матриц являются необходимым средством решения систем дифференциальных уравнений (см. примеры ниже).