Определения функции от матрицы.
Определение 1. Приведем некоторые примеры формул, по которым ведется вычисление основных функций на ЭВМ:
( 1)
( 2)
, ( 3)
где x – аргумент функции.
Аналогично можно задать функции от матриц:
( 4)
( 5)
, ( 6)
где – матрица (аргумент функции).
Определение 2. В большинстве случаев, за редким исключением, квадратная матрица -го порядка может быть представлена в виде произведения (разложения):
, где
, ( 7)
– собственные числа матрицы
;
– матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы
.
Из разложения ( 7) следует:
;
; …
, ( 8)
где
. ( 9)
Подставив в формулы ( 4)-( 6), получим:
; ( 10)
; ( 11)
, ( 12)
где
;
;
. ( 13)
Данные преобразования позволяют записать общую формулу для определения функций от матрицы, которая существенно упрощает процесс вычисления:
, ( 14)
где
; ( 15)
– собственные числа матрицы
,
– матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы
, n – порядок квадратной матрицы
.
Замечание 1. Самый общий случай представления квадратной матрицы в виде произведения также имеет вид жорданова разложения
( 16)
но при этом матрица Жордана имеет квазидиагональный вид:
,
;
,
где – жорданова клетка; матрица
состоит из столбцов, часть которых является собственными векторами, а часть присоединенными (или корневыми) векторами, при этом
, ( 17)
где
; ( 18)
, ( 19)
– порядок k-ой жордановой клетки.
Более подробно данный вопрос рассматривается в специальной литературе по линейной алгебре.
Дополнительный вид определения функции от матрицы. В случае, если порядки всех жордановых клеток равны единице, тогда:
,
где
, ( 20)
– собственный вектор матрицы
:
, ( 21)
– собственное число.
Собственные векторы нормированы, т.е.
. ( 22)
Очевидно, что матрица Жордана представима в виде следующего разложения
. ( 23)
Матрицу можно представить в виде:
, ( 24)
где – k-я вектор-строка матрицы
.
Тогда матрица может быть представлена следующим образом:
, ( 25)
где
( 26)
– оператор проектирования представимый в виде
. ( 27)
Проверим, покажем, что
. ( 28)
Вследствие ( 26) имеем:
.
Произведение является результатом умножения k-ой строки матрицы
на k-й столбец матрицы
. В тоже время, как известно,
. Следовательно,
, что доказывает формулу ( 28).
Соответственно функция от матрицы будет иметь вид:
( 29)
В частности, справедливы формулы:
;
;
. ( 30)
Такая запись применяется, к примеру, для получения общего решения задачи динамики.
Замечание 2. Функции от матриц являются необходимым средством решения систем дифференциальных уравнений (см. примеры ниже).
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 451;