Дискретно-аналитический метод решения задачи.

Для решения задачи будем использовать дискретно-аналитический метод, который состоит в следующем: по оси x осуществляется конечно-разностная аппроксимация, а по оси времени t рассматривается непрерывная задача (рис. 3).

Рис. 3. Схема дискретизации.

Введем обозначения:

; , , ( 55)

где в простейшем случае

. ( 56)

Здесь – количество внутренних узлов конечно-разностной сетки, причем пусть – нечетное число.

Для всех внутренних узлов получим конечно-разностное уравнение – дискретный аналог уравнения колебаний ( 54):

, , ( 57)

где

( 58)

– вторая конечная разность, приближенно представляющая вторую производную от искомой функции по аргументу .

В соответствии с краевыми условиями из ( 54) для граничных узлов, очевидно, можем записать:

; ; ; . ( 59)

C учетом ( 59) преобразуются уравнения ( 57) Имеем:

; ( 60)

; ( 61)

, ; ( 62)

; ( 63)

. ( 64)

Обоснуем, например, ( 60) и ( 61):

;

Введя обозначение

, ( 65)

можем представить разрешающую систему конечно-разностных уравнений ( 60)-( 64) в матричном виде

( 66)

где

. ( 67)

Заметим, что матрица положительно определена, т.е. все ее собственные числа положительные (в этом можно убедиться при их непосредственном вычислении).

Общее решение задачи ( 66) имеет вид:

. ( 68)

По условию рассматриваемой задачи

, ( 69)

откуда следует, что

, где . ( 70)

Это значит, что в векторе лишь один «срединный элемент» (с номером ) равен единице, а остальные элементы равны нулю. Ненулевой элемент вектора соответствует узлу конечно-разностной сетки с координатой , в котором в момент времени приложено сосредоточенное ударное воздействие величиной .