Некоторые важные примеры приложений.

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

( 31)

где

; , ( 32)

причем – искомые функции; – заданные функции; – матрица, не зависящая от x.

Общее решение задачи ( 31) определяется формулой:

. ( 32)

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида

( 33)

Пусть – положительно определенная матрица, т.е. все ее собственные числа . Тогда общее решение ( 33) можно записать в виде:

. ( 34)

Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида

( 35)

Общее решение задачи ( 35) определяется формулой:

, ( 36)

где и – гиперболические синус и косинус от произвольного аргумента.

Замечание 3. В среде МАТЛАБ реализовано вычисление некоторых функций от матриц с помощью обращения к стандартной функции funm:

Кроме того, для вычисления , и можно использовать встроенные функции expm(A), logm(A) и sqrtm(A), соответственно.