Сферичні двокутники та трикутники. Сферичний надлишок. Сферична тригонометрія.

Будь-які дві прямі сферичної геометрії розбивають сферу на чотири області, кожна з яких називається сферичним двокутником. Двокутник є аналогом многокутника, а саме, це многокутник, який має дві сторони. Таких фігур на евклідовій площині не існує. Двокутник повністю визначається кутом між прямими (відрізки яких є його сторонами).

Має місце наступна формула для площі двокутника

,

де – вершини двокутника.

Три попарно різні великі кола сфери розбивають її на 8 областей, кожна з яких називається сферичним трикутникам. Будемо розглядати лише ті з них, які мають менші за довжини сторін і менші за величини кутів (ейлерові трикутники).

Нехай – ейлерів. Якщо – центр сфери, то геометрію тригранного кута доцільно використати для вивчення геометрії сферичного трикутника. Наведемо деякі формули цієї геометрії.

Позначимо . Пари точок , , - діаметрально протилежні. Між площами сфери, сферичного трикутника і сферичних двокутників можна встановити такий зв'язок:

,

тоді формула площі сферичного трикутника має вигляд

,

звідки випливає, що в сферичній геометрії сума кутів трикутника більша за .

Далі, для зручності, позначимо . Для сторін маємо

, , ,

а для кутів –

, , .

Для елементів сферичного трикутника виконується перша теорема косинусів

,

друга теорема косинусів

,

теорема синусів

.

Для прямокутного сферичного трикутника формула з першої теореми косинусів отримаємо аналог теореми Піфагора у вигляді