Процессы распространения и развития эпидемий

Эпидемии различных заболеваний представляют собой одну из серьезных и постоянно возникающих перед человеческим обществом проблем. Не менее, а может быть даже более серьезной и несомненно более сложной и многофазной является проблема информационных эпидемий, охватывающих порой весьма значительные слои населения. Процесс распространения и развития и тех и других связан с непосредственным (от индивида к индивиду) или опосредованным (через среду) обменным взаимодействием. В качестве элементов обмена при этом выступают либо микроорганизмы, либо те или иные идеи. Разумеется, не каждый контакт субъекта, с зараженным соответствующей идеей (больным) или со средой-посредником, является критическим в смысле его заражения. Поэтому мы можем говорить лишь об определенной вероятности заражения для соответствующих видов контактов. Очевидно, что вероятность заражения индивида при одном контакте зависит от целого ряда самых разнообразных условий (метеорологических, климатических, степени истощения организма, возраста, пола, национальности, уровня культуры и образования, социального положения и т.д.). Для одних видов заболеваний эта вероятность достаточно велика (например, для чумы или тифа), для других относительно низка.

Эпидемия как системный процесс включает следующие основные процессы:

· пространственного переноса (диффузии), которые могут осуществляться как участвующими в коммуникационных связях индивидами, так и посредниками-переносчиками вирусов данного заболевания или СМИ, если речь идет об информационных заболеваниях;

· локальных обменов между вирусоносителями (носителями идей) и незараженными индивидами;

· размножения вирусов, попавших в организм (перерождения его системы знаний, его модели мира);

· гибели пораженного микроорганизмами (идеями) индивида;

· ослабления (нейтрализации) вирусов (идей), вследствие чего больной индивид выздоравливает (процессы выздоровления). Если речь идет об эпидемии деструктивных идей, то под выздоровлением понимают разочарование в них «заразившегося» этими идеями.

Заметим однако, что заражение деструктивными идеями может привести к перерождению соответствующего гражданина в неполноценную и даже опасную для общества личность. Дальнейшее развитие информационной «болезни» может закончиться полной потерей указанного индивида как достойного члена рассматриваемого общества. В этом смысле мы можем говорить о «летальном» исходе данной «болезни».

С точки зрения управления процессом эпидемии, конечно, целесообразно выделить и такие процессы, как вакцинация, лечение, контрпропаганда, гибель, ограничение контактов вирусоносителей и здоровых, выявление носителей вирусов, перевоспитание и т.п.

Характерной особенностью многих видов эпидемических заболеваний является также возникновение иммунитета у части вакцинированного, информационно подготовленного или переболевшего населения. При наличии иммунитета контакт зараженного со «здоровым» не приводит к заражению (заболеванию) последнего.

Еще одной характерной особенностью некоторых эпидемических заболеваний является наличие в процессе протекания болезни одного индивида некоторого скрытого периода, в течение которого он не проявляет признаков болезни, но может быть при этом источником заражения других. Человек может высказывать идеи, не будучи глубоко убежденным в них.

Разумеется, мы здесь отметили лишь часть характерных черт эпидемических процессов, но мы и не ставили перед собой цели их всестороннего и глубокого рассмотрения. Наша задача заключается в другом, мы хотим с системно-физических позиций посмотреть на проблему развития и распространения «эпидемических» заболеваний и попытаться построить достаточно универсальные формальные модели, которые бы позволяли исследовать (хотя бы качественно) некоторые общие закономерности протекания соответствующих процессов и которые имели бы возможность своей адаптации для построения моделей динамики конкретных эпидемий.

Исходя из вышесказанного и пренебрегая возможностью существования иммунитета, процесс локального развития эпидемии можно описать с помощью следующей системы уравнений:

где x – численность «здорового» населения (незараженного соответствующей идеей); y – численность больного (инфицированного) населения (зараженного соответствующей идеей); y₁ – численность выявленных носителей инфекции (носителей идей); w – вероятность того, что выявленный носитель не будет вступать в контакты, могущие привести к заражению здоровых граждан; nν – частота контактов; p₀ – вероятность заражения при одном контакте; eε – средняя интенсивность заражения населения от внешней среды (информационной, в частности); – интенсивность заражения населения в расчете на одного индивида за счет коммуникационных связей с внешним окружением исследуемого географического пункта или региона; aα – средний темп естественного прироста или убыли населения в расчете на одного жителя; gγ – средний темп выздоровления в расчете на одного больного; dδ₁ – средний темп смертности в расчете на одного больного, не обеспеченного медицинской (информационной, духовной и т.п.) помощью; dδ₂ – средний темп смертности в расчете на одного больного, обеспеченного медицинской (информационной, духовной и т.п.) помощью; mμ – интенсивность тестирования (человек в единицу времени); mμ₁ – интенсивность неспециализированного (нецеленаправленного) тестирования в процессе обычного медицинского (информационного, в форме опросов) обслуживания (чел. в ед. времени); rρ – вероятность выявления инфицированного (зараженного деструктивными идеями) при тестировании; P(x, y) – вероятность того, что контакт произошел между здоровым и больным индивидом; Q(x, y) – доля невыявленных инфицированных в общем потоке при целенаправленном тестировании; k – коэффициент, характеризующий целенаправленность тестирования на группы риска (0 £≤ k ≤£ 1); Q₁(y, x) – доля невыявленных инфицированных в общем потоке при нецеленаправленном тестировании; c_μm0 – затраты финансовых средств на тестирование одного индивида; cm_μ – количество средств, выделяемых на тестирование в единицу времени; q – доля больных, находящихся на медицинском (информационном) обслуживании; с₀ – объем средств, выделяемых на лечение больных (разубеждение зараженного деструктивными идеями) в единицу времени; c_q0 – стоимость лечения одного больного (разубеждение зараженного деструктивными идеями) в единицу времени; u – показатель, характеризующий ограничение опасных контактов, включая меры пропагандистского и принудительного характера; c_u – количество средств, которое необходимо выделять в единицу времени на поддержание заданного значения u; c_u0 – коэффициент чувствительности u к затратам.

Величины x, y и y₁ выступают в роли переменных, описывающих состояние рассматриваемой нами системы. Слагаемые же, входящие в правые части дифференциальных уравнений системы (3.3.79) играют роль динамических факторов, определяющих в своей совокупности изменение этого состояния.

Как видно из представленной системы уравнений, обменные взаимодействия в данном случае описываются комбинационными, входящими в состав правых частей первых двух уравнений системы (3.3.79), содержащие произведения соответствующих численностей (x, y).

В представленном выше виде модель больше пригодна для проведения численных расчетов. Однако большой интерес представляет получение аналитических выражений, описывающих закономерности развития эпидемии, что путем даже многократного численного моделирования получить не всегда удается. Поэтому остается единственная возможность – пойти по пути некоторых упрощений.

В связи со сказанным, пренебрегая влиянием целого ряда факторов, упростим исходную систему уравнений, представив ее в следующем виде

(3.3.80)

где n = x₀ + y₀ – начальная численность населения.

Поделив второе уравнение на первое, находим

,

откуда

y = y₀ – (x – x₀).

Подставляя полученный результат в первое уравнение системы (3.3.80), получаем

.

Далее

,

или, преобразуя,

.

После интегрирования получаем

окончательно

, (3.3.81)

. (3.3.82)

Таким образом, в данном приближении (отсутствие естественной прибыли или убыли населения, отсутствие смертности по причине данной болезни, отсутствие выздоровлений, отсутствие естественного заражения и притока извне) при стремлении времени t к бесконечности все население будет заражено данным видом инфекции полностью.

Будем теперь предполагать, что болезнь не столь безнадежна, так что часть больных может выздороветь. Кроме того, будем предполагать, что переболевшие однажды приобретают (может быть, лишь на некоторый период времени) иммунитет. Кроме того, часть населения приобретает указанный иммунитет путем вакцинации (целенаправленной информационной обработки). С учетом принятых предположений основная часть системы уравнений, описывающих динамику локального развития эпидемии, приобретает следующий вид:

(3.3.83)

где z – количество здоровых граждан, обладающих в момент времени t иммунитетом, вследствие того, что они либо были к моменту начала эпидемии вакцинированы, либо уже переболели, приобретя иммунитет; l – доля выздоравливающих, которые приобретают иммунитет по отношению к рассматриваемой инфекции; 1/r – среднее время сохранения иммунитета. Если иммунитет приобретается раз и навсегда, то r = 0, если же иммунитет не приобретается никем, то l = 0.

Из практической эпидемиологии известно, что если доля вакцинированного населения превышает некоторое критическое значение, то можно прогнозировать достаточно слабое проявление эпидемии. То же самое можно сказать и об эпидемиях информационных заболеваний: если высок моральный дух народа, то безнравственные идеи в нем распространяются и приживаются весьма слабо. Попробуем проанализировать эту закономерность формально. Для упрощения исследования выберем следующую динамическую модель локального развития эпидемии:

где z₀ – количество вакцинированного (стойкого к деструктивным идеям) населения. Тогда, исходя из условия неположительности скорости прироста больных, получаем

или, учитывая, что x = n – y при t = 0,

.

Откуда

.

Пусть – допустимый верхний предел развития эпидемии. Тогда, исходя из последнего выражения, получаем, что необходимая для непревышения этого предела в развитии эпидемии доля вакцинированного (стойкого к деструктивным идеям) населения должна быть не меньше

.

Пусть, например, = 0,15 и , тогда , т.е. вакцинирования 10% населения достаточно, чтобы эпидемия в своем локальном развитии не превзошла величины y^*. Поскольку не всякая вакцина обладает 100%-ной эффективностью, то данное выражение следует уточнить с учетом эффективности вакцины:

,

где q < 1 – эффективность вакцины (информационной обработки, идеологии, религии и т.д.).

Если , то

Этот результат является вполне очевидным, особенно для эпидемий информационных «заболеваний». Очевидно, что существование иммунитета несколько уменьшает критическое значение .

Распространение эпидемии в географическом пространстве можно исследовать, обобщая рассмотренные нами модели на случай нескольких географических пунктов или регионов (стран), связанных между собой коммуникационными потоками. Будем предполагать, что распределение населения в пространстве можно представить в виде графа, вершинами которого являются населенные пункты либо регионы или страны (в зависимости от целей исследования), а дугами – коммуникационные связи. В результате указанных представлений получаем дискретную модель динамики распространения и развития эпидемии в следующем виде:

(3.3.84)

где i, j – индексы населенных пунктов (регионов); m – общее число последних; – доля контактов индивида из i-го региона вследствие его поездок в регион j.

В данной модели учитывается, что инфекция (деструктивная идея или идеология) может проникнуть в данный населенный пункт, страну или регион как за счет заражения местного населения приехавшими извне по коммуникационным связям носителями инфекции (деструктивных идей или идеологий), так и своими первоначально здоровыми гражданами, которые могут заразиться, бывая вне своей страны или региона.

Доля контактов eε_ij удовлетворяют естественному условию

. (3.3.85)

Для многих видов болезней, таких, как грипп, ОРЗ и т.п., вероятность того, что условия опасного контакта (например, один индивид в транспорте может довольно долго находиться в опасной близости от другого) реализуются, зависит от пространственной плотности населения. Так, при приближении чумы люди (если не считать участников известного пира) старались вообще пространственно рассредоточиться. При моделировании эпидемий таких болезней вероятности p_j(x_j, y_j, z_j) и d_j(y_j, x_j) следует записывать в виде

, (3.3.86)

, (3.3.87)

где – характерная для данной территории численность населения.

Описанная выше модель межрегиональных взаимодействий эпидемических очагов, очевидно, допускает только численное исследование. Для того чтобы получить некоторые аналитические представления о динамике распространения эпидемии, попробуем перейти от дискретного описания к непрерывному.

Будем предполагать, что население в географическом пространстве распределено непрерывным (с точки зрения распространения вирусов) образом. Если эпидемия продолжается относительно долго (несколько дней или даже недель), то перемещениями отдельных индивидов между регионами можно пренебречь. Все они в этом смысле являются достаточно стабильными жителями своих мест. И в этом смысле географическое пространство, наполненное людьми, способными при определенных условиях заражать друг друга, можно рассматривать как сплошную среду, в которой может распространяться инфекционное заболевание (эпидемия).

Вполне разумно также считать, что концентрация вирусов в этой среде пропорциональна числу вирусоносителей. Изменение концентрации в элементарном объеме (элементарной «ячейке» этой среды), расположенном в некоторой точке, может, очевидно, происходить по двум причинам: во-первых, за счет переноса вирусов из соседних точек пространства; во-вторых, за счет их размножения в данной точке.

Будем предполагать, что поток вирусов в направлении x человеческого (географического) пространства пропорционален производной от их концентрации в данной точке

, (3.3.88)

где D – коэффициент диффузии (вирусной диффузии); c – концентрация вирусов, измеренная числом вирусоносителей.

Приращение концентрации вирусов за счет их перемещения вдоль оси на элементарном отрезке ( ) в единицу времени будет равно

.

Разлагая функции в ряд относительно точки x и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем, что приращение концентрации вирусов в точке x в единицу времени за счет переноса будет равно

.

Увеличение концентрации вирусов (вирусоносителей) за счет их размножения в точке x примем равным

,

где m – константа размножения.

Общее изменение концентрации C в единицу времени на отрезке dx будет, очевидно, равно сумме переносной составляющей и составляющей, связанной с размножением. Таким образом, получаем

,

или окончательно

.

Если учитывать и вторую ось координат, то можно записать полное уравнение вирусной диффузии в виде

. (3.3.89)

Если коэффициент диффузии есть величина постоянная, то уравнение (3.3.89) можно записать в виде

, (3.3.90)

где D – лапласиан.

.

Коэффициент локального размножения целесообразно представить в виде

, (3.3.91)

где k – количество вирусоносителей, порождаемых одним вирусоносителем за время его «активности»; τt – время заражательной «активности» вирусоносителя.

Для простоты анализа рассмотрим одномерный случай

. (3.3.92)

Решение этого уравнения будем искать обычным способом – способом разделения переменных. Для этого функцию C(x, t) представим в виде произведения двух функций

. (3.3.93)

Подставляя (3.3.93) в (3.3.92) и деля правую и левую части полученного выражения на произведение T(t)·X(x), получим

. (3.3.94)

Правая часть этого уравнения зависит только от x, а левая – только от t. Но это возможно лишь в том случае, если каждая из них равна одной и той же постоянной. Таким образом, уравнение (3.3.92) эквивалентно двум уравнениям, связанным между собой лишь указанной общей постоянной:

, (3.3.95)

, (3.3.96)

или

, (3.3.97)

, (3.3.98)

где

. (3.3.99)

Пусть k < 1 (докритическая ситуация). Предположи, что r² > 0. Тогда решение первого уравнения следует искать в виде

T ~ e^–pt, (3.3.100)

а решение второго в виде

X = A sin(wx + jφ), (3.3.101)

где

. (3.3.102)

Общее решение уравнения (3.3.92) теперь можно записать:

. (3.3.103)

Зададим начальные граничные условия в обычной форме:

(3.3.104)

Граничные условия системы (3.3.104) говорят об изолированности рассматриваемого участка географического пространства ( ). Граничные условия можно записать с учетом (3.3.103) таким образом:

,

.

Из первого выражения следует, что все (n = 0, 1, 2...). Из второго же с учетом значений jφ_k имеем

,

где m = 0, 1, 2 ...… Т.е.

(k = 0, 1, ...). (3.3.105)

Таким образом,

.

Откуда

(3.3.106)

или с учетом того, что

,

.

Как видим, при k < 1 все p_m,n < 0, и процесс является затухающим, что и следовало ожидать. При k > 1 некоторые p_m,n становятся больше нуля, и процесс развивается катастрофически. Таким образом, решение задачи (3.3.103) приобретает вид

. (3.3.107)

Очевидно, что коэффициенты A_m,n этого выражения должны удовлетворять условию

. (3.3.108)

Заметим, что множитель (-1)ⁿ может быть включен в постоянную A_mn, т.е.

, (3.3.109)

или с учетом принятых нами обозначений

,

где

.

Разлагая функцию c₀(x) в ряд Фурье и учитывая условие (3.3.108) можно найти коэффициенты A_q, которые, очевидно, будут равны соответствующим коэффициентам Фурье-разложения c₀(x).

Полученное нами решение вполне аналогично решению, описывающему распространение температурной волны в твердом теле с теплоизолированными стенками. Однако ситуация коренным образом изменяется в закритической области (k > 1). Получаемое решение в этом случае описывает неограниченный рост концентрации вирусоносителей. Причем этот процесс нарастания распространяется с некоторой скоростью вдоль оси x.

Следует заметить, что принятое нами диффузионное приближение с неограниченным размножением вирусоносителей, что описывается выражением

,

является очень грубой идеализацией и требует уточнения.