Теоретико-множественный смысл произведения

1) а × b = а + а + ... + а + а, если b > 1;

b слаг.

2) а× b = а, если b = 1;

3) а× b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множествен­ную трактовку. Если множества А₁, А₂, ..., Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объеди­нение А₁È А₂È ... ÈАb содержит а× b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а× b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а× b = n(А₁È А₂È ... ÈАb), если n(А₁) = n(А₂)=…= n(Аb)= а и множествапопарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, и каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.

Если n(А₁) = n(А₂)= n(А₃)= 4 и множествапопарно не пересекаются, то n(А₁È А₂È А₃) = n(А₁) + n(А₂) + n(А₃)= 4+4+4 = 4×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4×3 = 12. то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5.Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство:

n(АхВ)= п(А)× п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = {а₁, а₂, ...,аn}, В = {b₁, b₂, ...,bk}, причем k > 1. Тогда множество А х В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ п, 1 £ j £ к. Разобьем множество АхВ на такие подмножества А₁, А₂, ... , Аk, что подмножество Аj состоит из пар вида (а₁, bj), (а₂. bj), ..., (аn, bj). Число таких подмножеств равно к, т.е. числуэлементов в множестве В. Каждое множество А_] состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно сумме к слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и к. Таким образом, равенство

п(АхВ) = п(А)× п(В) доказано при к > I. При к = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда АхВ состоит из пар вида (а₁, b), (а₂. b), ..., (аn, b), число которых равно n/ Поскольку п(А) = п, п(В)= 1, то и в этом случае имеем: n(АхВ)= п(А)× п(В) = п×1.

При к = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Æ и п(АхÆ) = п(А)× п(Æ) = п××0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а× b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п (А) = а, и п (В) =b.

а× b = п(А)× п(В) = п(АхВ).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоре­тико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а× b = b× а состоит в том, что хотя множества АхВ и ВхА различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множе­ства АхВ можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества ВхА, и каждая пара из множества ВхА сопоставляема только одной паре из множества АхВ. Значит, п(АхВ) = п (ВхЛ) и потому а× b = b× .

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ас­социативного свойства умножения. Множества Ах(ВхС) и (АхВ)хС различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества Ах(ВхС) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (АхВ)хС, и каждая пара из множества (АхВ)хС сопоставляется единственной паре из множества Ах(ВхС). Поэтому п(Ах(ВхС)) = п((АхВ)хС) и следовательно, а(b с) = (а b)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А х (В È С)= (А х В) È (А х С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства Ах(В\С) = (АхВ) \ (А х С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицатель­ных чисел чаще всего определяют через сумму. Скучай а×1 = а и а× 0 = 0 принимаются по определению.