Лекция 15. Понятие вероятности

План:

1. События и вероятность. Понятие вероятности. Невозможные и достоверные события.

2. Понятия суммы и произведения. Теоремы сложения и умножения.

3. Условные вероятности. Полная вероятность. Формула Бейеса. Схема испытаний Бернулли.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ- раздел математики, изучающий закономер­ности случайных явлений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Так, хотя нельзя напе­ред определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, при­чем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет бро­шена достаточно большое число раз. При этом предполагается, что монета бро­сается при одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются практически во всех областях науки, техники и сельского хозяйства (в физике, биологии, психоло­гии, педагогике, экономике, военном деле, агротехнике и др.).

ИСПЫТАНИЕ (ОПЫТ, СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ)-

наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса ус­ловий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении дан­ного И.Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое И.

СОБЫТИЕ- какое-либо явление, которое может произойти или не произой­ти в результате данного испытания. События принято обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита А, В, С....

Пример 6.1. а) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - со­бытие; б) Студент отвечает на вопрос. Сам процесс - это испытание. Конкретный от­вет - событие.

Элементарные исходы (элементарные события) - события, которые в данном испытании могут произойти, причем:

1) все они взаимно исключают друг друга, и в результате испытания происходит одно из этих событий;

2) каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарно­му событию можно сказать, произошло или не произошло событие А.

Принятое обозначение – ω ₁, ω ₂, ω ₃,…, ω_п .

Те элементарные исходы испытания, в которых интересующее событие на­ступает, называют благоприятствующимиэтому событию.

Пространство (поле) элементарных событий - совокупность всех эле­ментарных событий данного испытания. Принятое обозначение - Ω, т.е. Ω = {ω ₁, ω ₂, ω ₃,…, ω_п }.

Пример 6.2. Испытание состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары чисел (т, п) на первом и втором куби­ке соответственно, где т, п Î N,

т £ 6, п £ 6. Пространство Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ., (6,6)} состоит из 36 элементарных событий.

Наблюдаемые события подразделяют на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное С. - С, которое обязательно происходит в результате данно­го испытания. Принятое обозначение - Ω . Так, достоверным С. является выпаде­ние не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т.п.

НевозможноеС. - С, которое заведомо не произойдет в результате дан­ного испытания. Принятое обозначение - Æ. Примерами невозможных собы­тий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление черного шара при извлечении шара из урны, содержащей только бе­лые шары, и т.п.

СлучайноеС. – С., которое может либо произойти, либо не произойти в результате данного испытания. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо орел, либо решка. Поэтому событие А: "При бросании монеты выпал орел" - случайное.

ПротивоположноеС. – С., состоящее в том, что данное событие А не насту­пило. Его обозначают Ᾱ . Если, скажем, событие А состоит в появлении красной масти при вытаскивании карты из колоды, то Ᾱ означает появление черной.

НесовместныеС. - события А и В такие, что наступление одного из них исклю­чает возможность наступления другого. Так, положительный ответ на вопрос несо­вместим с отрицательным ответом, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, т.к. выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В. Ясно, что события А и Ᾱ всегда будут несовместными.

События А ₁, А ₂, .... , А _п называются равновозможными,если нет основания считать, что появление одного из них в результате испытания является более возможным, чем остальных.

События А ₁, А ₂, .... , А _п называются единственновозможными, если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате испытания.

События А,, А₂, .... А_п образуют полную группу,если в результате испыта­ния появится хотя бы одно из них. ш

Пример 6.3. Пусть в урне находится три белых шара, занумерованных цифрами 1, 2, 3 и два черных шара, занумерованных цифрами 4, 5. Из урны наудачу извлекается один шар. Пусть событие А заключается в том, что извлеченный шар - красный. По­скольку в урне находится 5 шаров, то в результате испытания может быть извлечен лю­бой из пяти шаров, т.е. в результате испытания наступит одно из пяти следующих собы­тий: Л, - "Появление шара №1", А₂ - "Появление шара №2", ..., А₅ - "Появление шара №5". Данные события А_г А₂, ., Л₅ образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий.

Пример 6.4. События "Выигрыш в шахматной партии" (А) и "Проигрыш в шахмат­ной партии" (В) не образуют полную группу, т.к. результатом шахматной партии может быть "ничья".