Функція розподілу випадкової величини

Та її властивості

Ряд розподілу дискретної випадкової величини є повною ймовірнісною характеристикою цієї величини. Але дискретними випадковими величинами не вичерпуються всі види випадкових величин. Наприклад, ряд розподілу не підходить для опису випадкових величин, які набувають незліченної множини значень. Необхідно ввести універсальну ймовірнісну характеристику, яка годиться для опису будь-якої випадкової величини. Такою характеристикою є функція розподілу випадкової величини.

Означення 9.4. Функція дійсної змінної , значення якої при кожному значенні аргументу дорівнює ймовірності події , тобто

, (9.1)

називається функцією розподілу випадкової величини .

Іноді функцію розподілу називають інтегральним законом розподілу випадкової величини.

Наведемо властивості функції розподілу випадкової величини.

1. Функція розподілу випадкової величини є монотонно неспадна функція.

Доведення. Для будь-яких випадкова подія включає подію , тоді з властивості 4 ймовірності (лекція 4) випливає . Користуючись означенням 9.4, маємо .

2.

Доведення. Розглянемо дві числові послідовності та . Введемо позначення та . Послідовність випадкових подій буде монотонно спадною послідовність і . За аксіомою неперервності маємо

Послідовність випадкових подій – монотонно зростаюча, крім того, , тому

3. Функція розподілу випадкової величини є неперервною зліва, тобто

Доведення. Нехай числова послідовність – монотонно зростаюча і . Введемо випадкові події: і . Тоді і послідовність подій “розширюється” до . Отже, . Враховуючи властивість 1 функції розподілу, маємо

.

Зауваження. Якщо функцію розподілу визначити як , то при такому означенні вона буде неперервною справа.

4. Область значень функції розподілу є проміжок .

Ця властивість випливає безпосередньо з означення 9.4.

5. Імовірність попадання випадкової величини в проміжок ) можна обчислити за формулою

(9.2)

Доведення. Введемо випадкові події , і , тоді подія , причому . За аксіомою скінченої адитивності ймовірності

або .

Звідки

.

6. В якості проміжку ) розглянемо елементарний проміжок і застосуємо до нього формулу (9.2), тоді

Звідси випливає

.

Отже, якщо x – точка неперервності функції розподілу, то і ймовірність . Якщо x – точка розриву функції розподілу, то ймовірність події дорівнює величині стрибка функції розподілу в цій точці.

Нехай випадкова величина – дискретна, – її можливі значення. Тоді в кожній точці (n=1, 2, …) її функція розподілу має стрибки, величина яких дорівнює

(n= 1, 2, …). Таким чином, функція розподілу дискретної випадкової величини завжди розривна, має скінчену або злічену кількість стрибків у точках можливих значень випадкової величини. У загальному вигляді її можна записати так:

. (9.3)

Нехай тепер функція розподілу деякої випадкової величини – неперервна. Це означає, що ймовірність події дорівнює нуля для всіх , тобто кожне окремо взяте значення не має додатної ймовірності. У цьому випадку можливі значення випадкової величини повністю заповнюють деякий проміжок, а, можливо, і всю числову вісь.

Розглянемо на прикладі побудову графіка функції розподілу дискретної випадкової величини.

Приклад 9.2. Три рази стріляють по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,3. Нехай випадкова величина означає кількість влучень при трьох пострілах. Треба:

1) скласти ряд розподілу випадкової величини ;

2) записати і побудувати графік функції розподілу;

3) знайти ймовірність події А ={кількість влучень буде не менше двох}.

Розв’язання. 1. При складанні ряду розподілу необхідно знати значення та ймовірності p, з якими ці значення набуваються. За умовою задачі може набувати чотирьох значень: = 0, = 1, = 2, = 3. Імовірності, з якими ці значення набуваються, знайдемо за формулою Бернуллі:

, де k = 0, 1, 2, 3; p = 0,3.

Отже, ряд розподілу випадкової величини має вигляд (табл.9.3):

Таблиця 9.3

p	0,343	0,441	0,189	0,027

2. Записуємо функцію розподілу, користуючись рядом розподілу:

=

Графік функції розподілу наведений на рис. 9.1.

Рис. 9.1

3. Імовірність події А знайдемо за формулою (9.2):

.