Мода та медіана випадкової величини

Означення 11.6. Модою дискретної випадкової величини називається її найбільш імовірне значення, тобто таке значення , ймовірність якого – найбільша.

Означення 11.7. Модою неперервної випадкової величини називається абсциса точки максимуму щільності розподілу .

Означення 11.8. Розподіл випадкової величини називається унімодальним, якщо він має одну моду, та полімодальним, якщо він має декілька мод.

Якщо щільність розподілу ймовірностей не має максимуму, а має мінімум, то такий розподіл іноді називають антимодальним. Прикладом антимодального розподілу є “закон арксинусу” з щільністю розподілу

Означення 11.9. Медіаною випадкової величини (як правило неперервної) називається таке значення , для якого

.

Отже, медіана характеризує таке значення випадкової величини, що ймовірність набути значення менше за медіану та ймовірність набути значення більші за медіану, дорівнюють між собою. Інакше кажучи, медіана – це абсциса точки, яка поділяє площу під кривою розподілу на рівні частини.

Приклад 11.5. Знайти моду та медіану неперервної випадкової величини , щільність розподілу якої має вигляд

Цей розподіл є розподіл Релея.

Розв’язання. Для визначення моди випадкової величини знайдемо максимум функції при .

= 0, якщо .

Легко перевірити, що саме в точці буде максимум. Отже, мода розподілу Релея дорівнює .

Медіану випадкової величини знайдемо з умови

Із рівняння маємо .