Моменти випадкової величини

Поняття моменту в механіці використовують для характеристики розподілу мас. Аналогічно в теорії ймовірностей вводиться поняття моментів випадкової величини для опису властивостей розподілу ймовірностей. Дамо означення початкових та центральних моментів випадкової величини.

Означення 11.4. Початковим моментом порядку s випадкової величини називається математичне сподівання s – го степеня цієї величини:

.

Очевидно, що , тобто перший початковий момент співпадає с математичним сподіванням.

Якщо – дискретна випадкова величини, яка має розподіл , k = 1, 2,... , то її початкові моменти обчислюють за формулою

.

Якщо – неперервна випадкова величини, яка має щільність розподілу ймовірностей , то її початкові моменти знаходять так:

Доведення цих формул краще провести після вивчення теми “Функції від випадкових аргументів”.

Означення 11.5. Центральним моментом порядку s випадкової величини називається величина

.

Очевидно, що , .

Якщо – дискретна випадкова величини, яка має розподіл , k = 1, 2,... , то її центральні моменти обчислюють за формулою

.

Якщо – неперервна випадкова величина, яка має щільність розподілу ймовірностей , то її центральні моменти знаходять так:

Між початковими та центральними моментами неважко встановити зв’язок. А саме

.

Наприклад,

, ,

.

Надалі деякі моменти будемо використовувати при вивченні розподілу випадкових величин та в математичній статистиці.