Деякі класичні приклади обчислення геометричної імовірності випадкової події

Розглянемо деякі класичні задачі на обчислення геометричних ймовірностей випадкових подій.

Приклад 3.3. Задача про зустріч. Дві групи туристів А і В мають переправитися через річку по одній і тій же переправі. Групи підходять до переправи незалежно одна від одної протягом двох годин. Групі А для переправи потрібно 30 хв, а групі В – 15 хв. Яка ймовірність того, що жодна з груп не буде чекати переправи?

Розв’язання.

Рис. 3.1

Нехай х та у – час прибуття (у годинах) кожної групи на переправу. Очевидно, що W = {(х,у): 0 х 2, 0 у 2}. Група А не буде чекати переправи, якщо а група В – якщо Тоді область, яка заштрихована на рис. 3.1, буде складатися з тих моментів часу прибуття груп на переправу, коли вони можуть починати переправу без чекання. За формулою геометричної ймовірності (3.1) знаходимо:

.

Приклад 3.4. Задача Буфона. Нехай площину розділено паралельними прямими, відстань між якими дорівнює 2а. На цю площину навмання кидають голку, довжиною 2 ( ). Знайти ймовірність того, що голка перетне яку-небудь з паралельних прямих.

Розв’язання. Нема сенсу розглядати всю площину, бо насправді має значення положення голки тільки відносно двох паралельних прямих. Визначимо положення голки відносно цих паралельних ліній двома параметрами (рис.3.2): відстанню від середини голки до найближчої з прямих та кутом між голкою і прямою. Множина точок ( ) з можливими значеннями координат визначить множину }.

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Голка перетне найближчу пряму тоді, коли . Отже, подію А={голка перетне яку-небудь пряму} можна задати геометрично: . На рис. 3.3. ця область заштрихована. Площа прямокутника дорівнює . Площу області А знайдемо так:

.

Остаточно за формулою (3.1) маємо

.

Ця задача дала можливість отримати ще одним експериментальним шляхом наближеного значення числа . Припустимо, що в задачі Буфона голка кидалась n разів і m разів вона перетнула яку-небудь пряму. Тоді статистична ймовірність події А буде дорівнювати . Отже, . Звідки

.

Так в літературі наведено такий приклад. Якщо , то