Дневная производительность труда рабочих бригады.

В этом ряду распределения мода равна 21.Именно эту производительность показала большая часть бригады. В примере сумма частот составила 25, ее половина -12,5. Накопленная сумма частот, впервые превысившая эту величину-14,ей соответствует производительность труда 21. Таким образом 21-медиана.

Для интервальных рядов распределения мода определяется по формуле

где хмо –нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

iMo-величина модального интервала;

fMo –частота модального интервала;

fMo-1-частота интервала, предшествующего модальному;

fMo+1-частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда:

хме–нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

iMе-величина медианного интервала;

f – сумма частот

fМе- –частота медианного интервала;

Sме-1- сумма накопленных частот.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 части десять или сто. Эти величины называются квартили, децили, перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее совокупность на 4 равные части. Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями, ¼ часть совокупности с наибольшими значениями – верхний (Q₃). Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% -между Q₁ и Q₂, 25% между Q₂ и Q₃ и остальные 25% между Q₃>Q₄.

Используются следующие формулы:

- нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

- верхняя граница интервала, содержащая верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

- накопленная частота интервала, предшествующая интервалу, содержащему нижний квартиль;

- накопленная частота интервала, предшествующая интервалу, содержащему верхний квартиль;

- частота интервала, содержащая нижний квартиль;

- частота интервала, содержащая верхний квартиль.

Исследование вариации в статистике и социально-экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейной отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.

,

где - наибольшее значение варьирующего признака;

- наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение.

Символы , , и n имеют то же значение, что и в главе 6. Рассмотренные выше показатели имеют ту же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Дисперсияпредставляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой буквой σ² – «сигма квадрат»). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной:

-невзвешенная;

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:

- невзвешенное;

- взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Расчет дисперсии прямым способом в ряде случаев трудоемок, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее вычисления, например используя расчет дисперсии по способу отчета от условного нуля или способу моментов по следующей формуле:

С использованием начальных моментов формула расчета дисперсии по способу моментов имеет следующий вид:

,

где k – величина интервала;

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой;

- начальный момент первого порядка;

- начальный момент второго порядка.

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает вид:

или .

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Наиболее часто в практических расчетах из этих трех показателей применяется коэффициент вариации.