Телеграфные уравнения однородной длинной линий

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Общие сведения

Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это связано с тем, что если длина волны λ электромагнитных колебаний соизмерима с размерами цепи l, то токи и напряжения в этой одномерной цепи являются функциями двух переменных – времени t и координаты x – u(t, x), i(t, x).

Исторически первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. двухпроводные линии передачи сигнала от источника к нагрузке (рис. 6. 1), длина которых l значительно превышает длину волны λ передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому часто эти цепи называют длинными линиями или линиями. При этом будем полагать, что конструктивные данные линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное расположение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются однородными.

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов (характера) изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных и временных характеристик цепи. С этой целью следует рассмотреть электрическую модель отрезка линии малой длины Δx = dx. Эта модель с достаточной точностью исследования может быть представлена электрической цепью с сосредоточенными параметрами (рис. 6.2). Всю линию можно представить как цепи с бесконечно большим числом малых по величине пассивных элементов, распределенных равномерно по ее длине.

На основании физических рассуждений можно составить следующую эквивалентную схему отрезка (рис. 6.2).

При прохождении тока вокруг проводника образуется внешнее магнитное поле, которое можно моделировать индуктивностью L₀. Она препятствует прохождению тока. Вместе с этим проводник обладает сопротивлением материала R₀. Следовательно, эти элементы должны быть соединены последовательно.

Проводники объединены конструктивно диэлектриком, который обладает конечной резистивной проводимостью G₀. Между проводниками линии создается разность потенциалов. Следовательно, вокруг проводников существует электрическое поле, накопление которого моделируется емкостью С₀.

Элементы L₀, C₀, R₀, G₀ называются параметрами линии (отрезка линии). Однако каждый отрезок линии имеет конечную длину Dx, поэтому вводятся понятия погонных параметров:

L₁ = L₀/Dx, C₁ = C₀/Dx, G₁ = G₀/Dx, R₁ = R₀/Dx.

Телеграфные уравнения однородной длинной линий

Электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i(x, t) и напряжение u = u(x, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты x.

Составим на основе законов Кирхгофа дифференциальные уравнения для мгновенных напряжений и токов на отрезке линии длиной Δx по эквивалентной схеме на рис. 6.2.

(6.1)

Разделив обе части уравнений (6.1) на Δx, переходя к пределу при Δx → 0 и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим дифференциальные уравнения линии

(6.2)

Эти уравнения в частных производных называются телеграфными, так как впервые были получены для линии телеграфной связи.

Пусть к началу линии подключен генератор гармонических колебаний e(t) = E_mcos(ωt + φ₀), а к концу линии – сопротивление нагрузки Z_H (рис. 6.1). Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся гармонических колебаний.

Используя символический метод анализа гармонических колебаний, в котором

преобразуем уравнения (6.2) для мгновенных комплексных значений напряжения и тока

(6.3)

Здесь Z₁ = R₁ + jωL₁, Y₁ = G_{1 +} jωC₁.

Заменим в (6.3) частную производную на полную, т.к. и не зависят от времени. Осуществим разделение переменных, т.е. выразим ток через напряжение, а напряжение через ток. Для этого продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе уравнение. Получатся уравнения второго порядка

(6.4)

Введем обозначение Этот коэффициент называют коэффициентом распространения. Перепишем систему (6.4) в окончательном виде:

(6.5)

Уравнения (6.5) называются телеграфными уравнения однородной линии в комплексной форме. Они являются однородными, 2-го порядка, линейными (т.к. Z₁ и Y₁ не зависят от x).

Корни характеристического уравнения p² – γ² = 0 системы (6.5) равны

Общее решение первого уравнения системы (6.5) для напряжения в произвольной точке x линии ищем в виде

. (6.6)

Из первого уравнения системы (6.3)

.

Введя еще одно обозначение

– волновое сопротивлении, (6.7)

запишем решение для тока в точке x в форме

. (6.8)

Постоянные интегрирования A₁ и A₂ можно найти из начальных условий:

при x = 0 Ú_x = Ú₁ и Ì_x = Ì₁, где Ú₁ и Ì₁ – напряжение и ток в начале линии. Тогда из (6.6 и 6.8) для x:

Ú₁ = A₁ + A₂,

Ì₁Z_В = A₁ – A₂.

Откуда

A₁ = (Ú₁ + Ì₁Z_В)/2; (6.9)

A₂ = (Ú₁ – Ì₁Z_В)/2. (6.10)

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования в (6.6, 6.8) дает следующие уравнения для определения напряжении Ú_x и тока Ì_x в произвольной точке x длинной линии

(6.11)

Выражения (6.11) называют уравнениями передачи длинной линии.Они позволяют рассмотреть распределение напряжений и токов в однородной длинной линии в произвольной точке x.