Реакции, действующие на ось вращающегося тела

15.2.1 При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси силы давления на опоры (подшипники, подпятник) переменны по величине, носят циклический характер и могут значительно превышать силы давления, которые испытывают опоры при отсутствии вращения. При вращении тела не исключена также опасность резонанса.

Например, пусть центр тяжести вала массой 10кг, вращающегося с постоянной частотой 10 000об/мин, смещен от его оси на расстояние e=1мм. Действующая на него центробежная (нормальная) сила инерции равна

;

, что более чем в 200 раз превышает давление в опорах от веса вала.

При ускоренном или замедленном вращения вала на опоры действуют также циклические давления от касательных составляющих сил инерции, которые также могут достигать значительных величин и стать причиной резонанса и разрушения опор.

15.2.2Для определения реакций в опорах вращающегося тела воспользуемся принципом Даламбера.

Пусть к телу массы М приложены активные силы . Освободим тело от связей, заменив их реакциями и . Добавим к этим силам главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции . Тело находится в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил. Составим шесть уравнений равновесия:

;

;

;

;

;

.

Используя теорему о движении центра масс и раскладывая силы инерции, действующие на точки, на нормальные и касательные составляющие можно преобразовать эту систему уравнений равновесия [?] в следующую:

;

=0;

=0

;

;

.

Если тело не вращается вокруг оси Z, , то получим уравнения статики:

;

;

;

;

;

,

из которых можно определить статические реакции опор .

Статическим реакциями называются части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы . Уравнения для их определения получают, положив в выражениях для полных реакций .

Динамическими реакциями называют части полных реакций, которые уравновешивают силы инерции точек тела вращения. Уравнения для их определения получают, вычтя из выражений для полных реакций статические реакции. Динамические реакции зависят от ε и ω.

Статически уравновешенным называют тело, имеющее ось вращения, если центр масс этого тела лежит на оси вращения. В этом случае главный вектор сил инерции равен нулю, то есть , а главный момент сил инерции не равен нулю, то есть . Динамические реакции образуют в опорах циклически изменяющуюся пару сил. Опоры испытывают вибрации, которые могут привести к их усталости и разрушению, особенно в тех случаях, когда циклическая частота мест крепления близка к угловой скорости вращения тела.

Динамической уравновешенностью называют случай обращения в ноль динамических реакций. В этом случае главный вектор сил инерции равен нулю , а главный вектор может не равняться нулю .

Полной уравновешенностью называют случай, когда полные реакции равны статическим реакциям, а центр масс тела лежит на оси вращения. В этом случае и .

Вопросы для самоконтроля

Ø Сформулируйте принцип Даламбера для точки и системы.

Ø В чем заключается метод кинетостатики?

Ø Какие реакции вращающегося тела называют статическими? Как их определить?

Ø Какие реакции вращающегося тела называют динамическими? Как их определить?

Ø Сформулируйте условия статического уравновешивания твердого тела.

Ø Сформулируйте условия динамического уравновешивания твердого тела.

ЛЕКЦИЯ №16