Приведенная (по Ляпунову) система

В математических методах исследования устойчивости систем нелинейных и нестационарных дифференциальных уравнений с помощью второго (или прямого) метода Ляпунова имеют дело только с системами, допускающими тривиальное решение. Рассмотрим формальную процедуру приведения задачи исследования свойств устойчивости произвольного фиксированного решения системы к задаче исследования тривиального решения эквивалентной системы, допускающей тривиальное решение. Такую эквивалентную систему и будем называть (вслед за Ляпуновым) приведенной.

Пусть дана конечномерная гладкая динамическая система с непрерывным временем вида

(1.3.1)

и дано некоторое ее фиксированное решение , подлежащее исследованию.

Введем обозначение новой переменной

где - любое решение системы (1.3.1), т.е. есть отклонение произвольного решения от решения . Тогда, так как

Получим дифференциальное уравнение для отклонений вида

(1.3.2)

где обозначено:

Получили некоторую «новую» систему (1.3.2), эквивалентную «старой» системе (1.3.1), путем исключения из «старой» системы (1.3.1) некоторого решения , которое считаем известным и устойчивость которого подлежит исследованию. Очевидно, что система (1.3.2) допускает (в силу построения) тривиальное решение , что легко проверить его подстановкой.

Таким образом, привели задачу исследования устойчивости произвольного известного решения системы (1.3.1) к задаче исследования устойчивости тривиального решения (положения равновесия) так называемой «приведенной» системы (1.3.2) (по Ляпунову она называется также системой уравнений возмущенного движения, а решение - невозмущенным движением).

Функции Ляпунова

Пусть дана приведенная система

(1.4.1)

с областью определения fвида

(1.4.2)

причем fудовлетворяет свойствам (1.1.9), т.е. непрерывна по t и xи непрерывно дифференцируема по x.Кроме того, введем дополнительное ограничительное условие для f:

(1.4.3)

т.е. система (1.4.1) допускает тривиальное решение.

Определение 1.Скалярная вещественная функция векторного аргумента xи времени t вида

(1.4.4)

определенная в некоторой области

(1.4.5)

такой, что называется функцией Ляпунова (ФЛ) для системы(1.4.1) в области (короче, функцией Ляпунова) если она удовлетворяет следующим требованиям (свойствам):

а) - скалярная вещественная функция (скалярную функцию векторных аргументов часто называют функционалом);

б) - непрерывная функция по t и x;

в) ■

Определение 2. Функция Ляпунова называется знакопостояннойв области , а именно:

(а) знакопостоянной положительной (знакоположительной), если в области ;

(б) знакопостоянной отрицательной (знакоотрицательной), если в области .■

Определение 3. Функция Ляпунова , не зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

(а) положительно определенной (определенно положительной) в области , если

(б) отрицательно определенными (определенно отрицательной) в области , если ■

Определение 4. Функция Ляпунова вида , зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

а) положительно определенной в области , если выполнено неравенство:

где – не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова, удовлетворяющая определению 3, т.е.

б) отрицательно определенной в области , если выполнено неравенство

где .■

Таким образом, для зависящих от времени знакоопределенных функций Ляпунова в области выполняется неравенство

, (1.4.6)

где - не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова.

Полезное правило. Согласно определению 4, критерием, определяющим свойство положительной определенности функции Ляпунова, зависящей от времени, является некоторая не зависящая от времени положительно определенная функция , которую необходимо найти. Укажем один из приемов ее построения.

Пусть дана зависящая от времени функция Ляпунова в области . Если может быть построена в той же в области не зависимая от времени функция вида

, (1.4.7)

где inf (инфинум) – точная нижняя грань множества всех значений по (а точная верхняя грань обозначается как sup (супремум), то ее можно взять в качестве в определении 4 для исследования знакоопределенности функции , а именно, из (1.4.7) очевидно, что: