Парная корреляция и парная линейная регрессия

Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

Могут иметь место различные формы связи:

- прямолинейная:

- криволинейная в виде:

параболы второго порядка (или высших порядков):

Параметры для всех этих уравнений связи, как правило, определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):

Если связь выражена параболой второго порядка ( y_x = a₀ + a₁ x + a₂ x² ) , то систему

нормальных уравнений для отыскания параметров a₀ , a₁ , a₂ (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представить в виде:

na₀ + a₁ åx + a₂ åx² = åy

Другая важнейшая задача – измерение тесноты зависимости – для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения h :

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

å(x -

) ×(y -

)

rxy =

x

y

(8.8)

nsx sy

åxy -

åx ×

åy

rxy =

n

(8.9)

(åx 2 -

(åx)2

) ×(åy2

-

(åy)2

)

n

n

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» – прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.