Частотные характеристики

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САР (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных харак­теристик. Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.

Если задана передаточная Функция W(S), то путём подставки S=jw получаем частотную передаточную функцию W(jw), которая является комплексным выражением т.е. , где А(w) вещественная составляющая , а К(w) мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме

,

,

где - модуль;

-аргумент частотной

передаточной функции

Функция М(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).

Функция j(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Частотная передаточная функция W(jw) может быть представлена на комплексной плоскости. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до ¥ производится определение вектора на комплексной плоскости и строится годограф вектора. Годограф будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Таким образом, для определенной частоты имеем век­тор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем М и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг пред­ставляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, .а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

Для упрощения графического представления частотных характерис­тик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логариф­мическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.). При построе­нии логарифмических характеристик на шкале частот вместо w откладывается lgw и единицей измерения является декада. Де­кадой называется интервал частот, соответствующий изменению час­тота в 10 раз. При построений л.а.ч.х. на оси ординат единицей из­мерения является децибел, который представляет собой соотношение L=20 lg M(w). Для л.ф.ч.х. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 3.1. При этом L равное 0 по шкале деб. соответствует –180 градусов по шкале j.

Рис 3.1. Схема координат для логарифмических характеристик

Рассмотрим пример определения и построения АФЧХ для элемента с передаточной функцией

при T=10^-1с. Путем подстановки p=jw получим частотную передаточную функцию

.

Преобразуем выражение для частотной передаточной функции (умножением числителя и знаменателя на комплексное сопряженное (1-jwT), таким образом, чтобы оно представляло собой комплексное выражение в алгебраической форме

Задаваясь отдельными значениями w, можно вычислить вещественную и мнимую составляющую W(jw) и построить по ним АФЧХ.

Из выражения для w(jw) видно, что при w=0 W(jw)=0+j0, а при w=¥ W(jw)=1+j0. Частоты, соответствующие промежуточным точкам кривой, могут быть найдены следующим образом. Аргумент W(jw) равен j(w)=arctg(K/A)= arctg(1/wT)= arctg(100/w), поэтому луч проведенный из начала координат под углом j к оси абсцисс, пересекает АФЧХ в точке, в которой величина w определяется через j.

Рис. 3.2 Амплитудная фазо-частотная характеристика