Виды задающих и возмущающих воздействий

Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения. Часто такой же характер имеют задающие воздействия. Поэтому поведение САР в реальных условиях представляет собой сочетание переходного и установившегося режимов. В этом случае возникают трудности принципиального характера, т.к. заранее неизвестны законы изме­рения внешних воздействий, что затрудняет анализ динамики и статики САР, Для ликвидации возникших затруднений часто используют так называемые типовые, управляющие и возмущающие воздействия, которые представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий. Например, довольно широко в качестве типовых используют воздействия полиномиального вида:

(1.1)

,

где n= 0,1,2… натуральные числа;

- постоянные величины;

1(t) называется единичная ступенчатая функция.

При n=0 выражение (1.1) определяет ступенчатое воздействие:

. (1.2)

При n=1 из выражения (1.1) получим линейное воздействие ( воздействие с постоянной скоростью):

.

(1.3)

При n=2 из выражения (1.1) получим воздействие с постоянным ускорением:

.

(1.4)

Графическое представление типовых воздействий, соответствующих уравнениям (1.2), (1.3), (1.4) представлено на рис. 1.5.

В некоторых случаях в качестве типового используется воздействие следующего вида:

,

где d(t) – единичная дельта-функция

Единичная дельта - функция (единичный импульс) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единицы, т.е. .

Рис 1.5. Типовые полиномиальные воздействия

Существует следующая связь между единичной ступенчатой функцией и дельта – функцией

.

Кроме того, часто применяются гармонические типовые воздей­ ствия

где k- постоянный коэффициент;

w- частота;

j-фаза.

Момент приложения внешних воздействий к САР обычно принима­ется за нуль отсчёта времени. При таком подходе внешние воздей­ствия для отрицательного момента времени равны нулю. В связи о этим, в аналитические выражения для внешних воздействий в ка­честве множителя вводят единичную ступенчатую функцию.

Любое внешнее воздействие сложной формы может быть приближен­но представлено в виде совокупности типовых воздействий, свя­занных между собой определенными математическими операциями.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САР И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ.

2.1 Математическое описание элементов и систем автоматического регулирования

Поведение САР в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необхо­димо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющих­ся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия.

С целью упрощения получения математических соотношений обычно вводят следующие допущения:

- САР и ее элементы обладают свойством стационарности;

- элементы САР являются линейными;

- протекающие процессы являются непрерывными функциями времени при выполнении нулевых начальных условий.

В обобщенном виде САР представлена на рис. 2.1.

Рис 2.1 Система автоматического регулирования

Здесь X и Z являются входными воздействиями, а Y – выходным параметром.

В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:

, (2.1)

где a, b, c - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде:

.(2.2)

В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается Q(p). Полиномы при воздействиях Х и Z называются соответственно операто­ром управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим R₁(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R₂(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:

. (2.3)

Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение (2.2) примет вид:

. (2.4)

Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику САР, а уравнение (2.4) описывает только статику.

В тех случаях, когда система или её составной элемент описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка, применяется стандартная форма записи уравнения. Например, имеем САР, содержащую один вход X и один выход Y, которая описывается уравнением

. (2.5)

Левую и правую часть уравнения (2.5) разделим на коэффициент a₂

(2.6)

.

Введем обозначения .

Тогда уравнение (2.6) примет вид

(2.7)

В уравнении (2.7) параметр Т₁ имеет размерность сек^-2, параметр Т₂ –сек^-1, а параметр К является безразмерным. Выражение (2.7) представляет собой уравнение в стандартной фор­ме, которая является наиболее удобной при дальнейшем анализе динамических процессов. В этом случае собственный оператор Q(p) принимает вид алгебраического уравнения

.

Следует отметить, что используемый выше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа S, который является комплексной величиной. Как известно, для линейных дифференциальных уравненийс постоянными параметрами при нулевых начальных условиях с точностью до обозначения оператор p соответствует оператору S, т.е. .

Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.1), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа.

Напомним, что для отображения Функции f(t) действительной переменной t на комплексной плоскости в виде функции комплекс­ной переменной f(S) выполняется следующим образом:

,

где S=a+jb .

При этом f(t) называют оригиналом, а f(S) – изображением. Полагают, что функция f ( t ) обладает следующими свойствами:

- f ( t ) определена и кусочно - дифференцируема на всей поло­жительной числовой полуоси(0-¥);

- f ( t )=0 при t<0;

-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:

Переход от изображения f ( S ) к оригиналу f ( t ) (обрат­ное преобразование Лапласа) выполняется следующим образом:

.

Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, которая удовлетворяет условию Re(S)=a₀>С. Символически обратное преобразование Лапласа обозначается в виде

.

.