Критерии Байеса, Лапласа, Сэвиджа, Вальда, Гурвица.

При поиске оптимальных решений обычно используют различные критерии, дающие некоторую схему принятия решений. Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Байеса. При использовании критерия Байеса статистику известны вероятности q_k наступления события П_к. Обычно вероятности q_k определяются путем проведения экспериментов. Такие вероятности называются апостериорными. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия A_i, при которой средний выигрыш статистика , становится максимальным.

Критерий Лапласа. Критерий Лапласа отличается от критерия Байеса тем, что апостериорные вероятности неизвестны. Тогда их принимают равными и рассчитывают по формуле

Критерий Сэвиджа. Этот критерий является критерием крайнего пессимизма, т.е. статистик исходит из предположения, что природа действует против него наихудшим образом. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию A_i, при которой максимальный риск является минимальным. Такой риск называется минимаксом и рассчитывается по формуле

Критерий Вальда. Как и критерий Сэвиджа, критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма. Поэтому статистик выбирает такую чистую стратегию А_i , при которой наименьший выигрыш будет максимальным. Этот выигрыш называется максимином и вычисляется по формуле

Критерий Гурвица. Этот критерий является критерием пессимизма-оптимизма и рекомендует применять нечто среднее. В этом случае статистик выбирает такую чистую стратегию А_i , для которой справедливо условие:

где γ=0÷1 выбирается из субъективных соображений. При γ = 1 Критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда.

Пример 4.6. Создается таможенно-логистический терминал (ТЛТ) для размещения товаров и транспортных средств (ТиТС), находящимися под таможенным контролем. Для простоты принимаем, что поток заявок ТиТС, размещаемых на хранение выражается числами 2, 4, 6 и 8 тыс. заявок в год. Из опыта известно, что прибыль от размещения ТиТС на хранение одной единицы груза составляет 9 ден. ед. в год. Потери, вызванные отказом в размещении в силу недостатка пропускной способности ТЛТ, - 5 ден. ед. Убытки от простоя ТЛТ при отсутствии заявок на размещение ТиТС - 6 ден. ед. за каждую заявку.

Дать информацию о пропускной способности создаваемого ТЛТ, используя приведенные критерии.

Решение. В качестве игрока А здесь выступает орган, принимающий решение о пропускной способности создаваемого ТЛТ. Его чистыми стратегиями являются:

■ А₁ — открытие ТЛТ с пропускной способностью 2 тыс. заявок на размещение ТиТС в год;

§ A₂ — открытие ТЛТ с пропускной способностью 4 тыс. заявок на размещение ТиТС в год;

■ A₃ — открытие ТЛТ с пропускной способностью 6 тыс. заявок на размещение ТиТС в год;

■ A₄ — открытие ТЛТ с пропускной способностью 8 тыс. заявок на размещение ТиТС в год.

Вторым игроком выступает совокупность всех обстоятельств, в которых формируется поток грузов, перемещаемых через таможенную границу и соответственно заявок на размещение ТиТС на ТЛТ, т.е. природа П. Природа может реализовать любое из четырех состояний:

■ П₁— поток составит 2 тыс. заявок в год;

■ П_г— поток составит 4 тыс. заявок в год;

■ П₃— поток составит 6 тыс. заявок в год;

§ П₄— поток составит 8 тыс. заявок в год.

Вычислим выигрыши a_ik игрока А при любых сочетаниях обстоятельств (A_i, П_k). Наиболее благоприятными будут ситуации, когда количество поступивших заявок совпадает с возможностями ТЛТ.

Для комбинации (A₁, П₁) прибыль составит а₁₁=2*9 = 18 тыс. ден. ед., для комбинации (A₂, П₂) имеем а₂₂=4*9 = 36 тыс. ден. ед. и т.д.

Для случая (A₁, П₂) в ТЛТ можно разместить 2 тыс. товаров, а заявок поступило 4 тыс. Потери при этом составят 2*5=10 тыс. ден. ед., а общая прибыль а₁₂=2*9-2*5=8 тыс. ден. ед.

Для случая (A₂, П₁) в ТЛТ можно разместить 4 тыс. товаров и транспортных средств, а заявок поступило 2 тыс. Потери при этом составят 2*6 = 12 тыс. ден. ед., а общая прибыль а₂₁=18-12 = 6 тыс. ден. ед. Аналогично находятся другие элементы платежной матрицы. Результаты расчетов представлены в табл. 4.13.

Из табл. 4.13 следует, что нижняя чистая цена игры

а верхняя чистая цена игры

Так как α ≠ β, то игра не содержит седловой точки. Доминирующих стратегий у статистика нет._________

Критерий Байеса. Пусть известны вероятности q_k состояния природы П_к . В табл. 4.13 эти вероятности обозначены как . По формуле (4.23) находим значения средних выигрышей . Эти значения приведены в седьмом столбце табл. 4.13. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия А₃ (открытие ТЛТ с пропускной способностью на 6 тыс. заявок в год), при которой средний выигрыш статистика .

Таблица 4.13

	П1(2)	П2(4)	П3(6)	П4(8)	αi			0,8αi	δi	0,2δi	hi
A1(2)			-2	-12	-12	3,5		-9,6		3,6	-6
A2(4)						23,5		4,8		7,2
A3(6)	-6				-6	29,5		-4,8		10,8
A4(8)	-18				-18	25,5		-14,4		14,4
βi
	0,2	0,35	0,25	0,2
	0,25	0,25	0,25	0,25

Здесь использованы следующие обозначения:

.

Критерий Лапласа. По этому критерию вероятности принимаются равными и рассчитывают по формуле

В качестве оптимальной по критерию Лапласа также принимается чистая стратегия А₃, при которой средний выигрыш статистика

Критерий Сэвиджа. Для анализа игры по этому методу построим матрицу рисков. Для расчетов используются формулы (4.21), (4.22). Результаты расчетов представлены в табл. 4.14.

Как следует из табл. 4.14, минимальный из всех максимальных рисков равен . Этот риск соответствует чистой стратегии А₃ (открытие ТЛТ с пропускной способностью на 6 тыс. заявок в год).

Таблица 4.14

Критерий Вальда. Из табл. 4.13 видно, что нижняя чистая цена игры . Эта цена соответствует чистой стратегии А₂ (открытие ТЛТ с пропускной способностью на 4 тыс. заявок в год).

Критерий Гурвица. Положим γ = 0,8. Рассчитываем по формуле δ_i = max a_ik (см. столбец 10 табл. 4.13). Затем, используя данные столбцов 6 и 10 табл. 4.13, проводим расчет по формуле .

Результат представлен в столбце 12 табл. 4.13. Значение и соответствует стратегии A₂ (открытие ТЛТ с пропускной способностью на 4 тыс. заявок в год).