Первая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть для функции y=f(x) заданы значения yi=f(xi) для равноотстоящих значений независимой переменной xi=x0+i*h (i=0,n) , где h - шаг интерполяции.
Требуется подобрать полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках xi значения Pn(xi)=yi (i=0,n)
Ньютон решил поставленную задачу:
Pn(x)=y0+q y+ + y0,
где q= .
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.
|
q= ,
где k - число шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x0.
Рассмотрим частные случаи n=1 или n=2:
n=1 P1(x)=y0+q y0 – линейное интерполирование
n=2 P2(x)=y0+q y0+ 2y0–параболическое (квадратичное) интерполирование
Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке c h=1
X | |||||
Y | 0.25 | 0.2 | 0.167 | 0.143 | 0.125 |
Горизонтальная таблица разностей.
x | y | y | 2y | 3y | 4y |
0.25 | -0.05 | 0.017 | -0.008 | 0.005 | |
0.2 | -0.033 | 0.009 | -0.003 | ||
0.167 | -0.024 | 0.006 | |||
0.143 | -0.018 | ||||
0.125 |
Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.
P4(x)=y0+q y0+ + y0+
Как пользоваться формулой?
Допустим, необходимо определить значение в точке x=4.4
Узловые точки x0=4, h=1,тогда q=
Точное значение =0.22727.
Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 692;