Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Функция , непрерывная на отрезке , является ограниченной на этом отрезке, т.е. сущестует такое положительное число , что для всех , выполняется неравенство

Свойство 2: (Вторая теорема Вейерштрасса). Функция , непрерывная на отрезке , достигает на нем свои наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют такие точки и , принадлежащие отрезку что , , и для всех выполниется неравенство:

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например, функция ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебаниемфункции на отрезке.

Свойство 3: (Теорема Больцано – Коши). Функция , непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все свои промежуточные значения, т.е. для любого числа , существует точка , такая, что .

Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет определённы знак.

Свойство 5: (Вторая теорема Больцано – Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, что .

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что

выполняется неравенство

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности D зависит от и .

Свойство 6: (Теорема Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

Пример. .

Функция непрерывна на интервале , но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число такое, что существуют значения и такие, что , - любое число при условии, что и близки к нулю.

Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.